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자연계열 II 1번

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이화여대 2017학년도 수시 자연계열 II 1번 · mathesis.kr/archive/ewha/2017su/jayeon2_1

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문제

[문제 1] 정수 n≥0\displaystyle n\ge0에 대하여 아래와 같이 표현된 수열 {In}\displaystyle \{I_n\}이 있다.In=∫0π2sin⁡nx dx\displaystyle I_n=\int_0^{\frac\pi2}\sin^n x\,dx다음 물음에 답하시오. [30점]

(1) 정수 n≥0\displaystyle n\ge0에 대하여 In+1≤In\displaystyle I_{n+1}\le I_n이 성립함을 보이시오.

(2) 자연수 n≥2\displaystyle n\ge2에 대하여 In=n−1nIn−2\displaystyle I_n=\frac{n-1}nI_{n-2}가 성립함을 보이시오.

(3) 극한값 lim⁡n→∞In+1In\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{I_{n+1}}{I_n}을 구하시오.

해설강의 준비중

이화여대 2017학년도 수시 자연계열 II 1번 · mathesis.kr/archive/ewha/2017su/jayeon2_1

1-(1) 정수 n≥0\displaystyle n\ge0에 대하여 In+1≤In\displaystyle I_{n+1}\le I_n이 성립함을 보이시오.

+2점 · 구간 [0,π2]\displaystyle \left[0,\frac\pi2\right]에서 0≤sin⁡x≤1\displaystyle 0\le\sin x\le1을 얻음

(풀이) 구간 [0,π2]\displaystyle \left[0,\frac\pi2\right]에서 0≤sin⁡x≤1\displaystyle 0\le\sin x\le1이기 때문에

+2점 · 구간 [0,π2]\displaystyle \left[0,\frac\pi2\right]에서 sin⁡n+1x≤sin⁡nx\displaystyle \sin^{n+1}x\le\sin^n x

sin⁡n+1x≤sin⁡nx\displaystyle \sin^{n+1}x\le\sin^n x이다.

+1점

그러므로In+1=∫0π2sin⁡n+1x dx≤∫0π2sin⁡nx dx=In\displaystyle I_{n+1}=\int_0^{\frac\pi2}\sin^{n+1}x\,dx\le\int_0^{\frac\pi2}\sin^n x\,dx=I_n이 성립한다.

1-(2) 자연수 n≥2\displaystyle n\ge2에 대하여 In=n−1nIn−2\displaystyle I_n=\frac{n-1}nI_{n-2}가 성립함을 보이시오.

+2점 · sin⁡nx\displaystyle \sin^n x를 sin⁡n−1x⋅sin⁡x\displaystyle \sin^{n-1}x\cdot\sin x로 나타냄.
+8점 · ∫0π2sin⁡n−1x⋅sin⁡x dx\displaystyle \int_0^{\frac\pi2}\sin^{n-1}x\cdot\sin x\,dx에 부분적분을 적용하여 ∫0π2sin⁡n−1x⋅sin⁡x dx=[sin⁡n−1x(−cos⁡x)]0π2+(n−1)∫0π2sin⁡n−2xcos⁡2x dx\displaystyle \int_0^{\frac\pi2}\sin^{n-1}x\cdot\sin x\,dx=\Biggl[\sin^{n-1}x(-\cos x)\Biggr]_0^{\frac\pi2}+(n-1)\int_0^{\frac\pi2}\sin^{n-2}x\cos^2x\,dx 을 얻음.
+3점 · ∫0π2sin⁡n−2xcos⁡2x dx=∫0π2sin⁡n−2x dx−∫0π2sin⁡nx dx\displaystyle \int_0^{\frac\pi2}\sin^{n-2}x\cos^2x\,dx=\int_0^{\frac\pi2}\sin^{n-2}x\,dx-\int_0^{\frac\pi2}\sin^n x\,dx를 얻음.

(풀이) 1보다 큰 자연수 n\displaystyle n에 대하여 부분적분법을 이용하면In=∫0π2sin⁡nx dx=∫0π2sin⁡n−1x⋅sin⁡x dx=[sin⁡n−1x(−cos⁡x)]0π2+∫0π2(n−1)sin⁡n−2xcos⁡2x dx=∫0π2(n−1)sin⁡n−2xcos⁡2x dx=(n−1)∫0π2sin⁡n−2x(1−sin⁡2x) dx=(n−1)∫0π2sin⁡n−2x dx−(n−1)∫0π2sin⁡nx dx=(n−1)In−2−(n−1)In\displaystyle \begin{aligned}I_n&=\int_0^{\frac\pi2}\sin^n x\,dx\\&=\int_0^{\frac\pi2}\sin^{n-1}x\cdot\sin x\,dx\\&=\Biggl[\sin^{n-1}x(-\cos x)\Biggr]_0^{\frac\pi2}+\int_0^{\frac\pi2}(n-1)\sin^{n-2}x\cos^2x\,dx\\&=\int_0^{\frac\pi2}(n-1)\sin^{n-2}x\cos^2x\,dx\\&=(n-1)\int_0^{\frac\pi2}\sin^{n-2}x(1-\sin^2x)\,dx\\&=(n-1)\int_0^{\frac\pi2}\sin^{n-2}x\,dx-(n-1)\int_0^{\frac\pi2}\sin^n x\,dx\\&=(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_n\end{aligned}

+2점 · In=(n−1)In−2−(n−1)In\displaystyle I_n=(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_n을 정리하여 In=n−1nIn−2\displaystyle I_n=\frac{n-1}nI_{n-2}을 얻음.

이므로 nIn=(n−1)In−2\displaystyle nI_n=(n-1)I_{n-2}이고 In=n−1nIn−2\displaystyle I_n=\frac{n-1}nI_{n-2}이다.

1-(3) 극한값 lim⁡n→∞In+1In\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{I_{n+1}}{I_n}을 구하시오.

+3점 · 문항 (1)로부터 In+2In≤In+1In≤1\displaystyle \frac{I_{n+2}}{I_n}\le\frac{I_{n+1}}{I_n}\le1을 유도

(풀이) 문항 (1)에 의하여 In+2≤In+1≤In\displaystyle I_{n+2}\le I_{n+1}\le I_n이므로 In+2In≤In+1In≤1\displaystyle \frac{I_{n+2}}{I_n}\le\frac{I_{n+1}}{I_n}\le1이 성립하고,

+3점 · 문항 (2)에서 n+1n+2=In+2In≤In+1In≤1\displaystyle \frac{n+1}{n+2}=\frac{I_{n+2}}{I_n}\le\frac{I_{n+1}}{I_n}\le1을 유도

문항 (2)에 의하여 n+1n+2=In+2In\displaystyle \frac{n+1}{n+2}=\frac{I_{n+2}}{I_n}이다. 그러므로 n+1n+2=In+2In≤In+1In≤1\displaystyle \frac{n+1}{n+2}=\frac{I_{n+2}}{I_n}\le\frac{I_{n+1}}{I_n}\le1이 참이고

+4점 · 조임정리를 적용하여 lim⁡n→∞In+1In=1\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{I_{n+1}}{I_n}=1을 얻음.

수열의 조임정리에 의하여1=lim⁡n→∞n+1n+2≤lim⁡n→∞In+1In≤1\displaystyle 1=\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n+2}\le\lim_{n\to\infty}\frac{I_{n+1}}{I_n}\le1이므로 lim⁡n→∞In+1In=1\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{I_{n+1}}{I_n}=1이다.

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