수리논술, 배움에서 논증의 완성까지.

자연계열 I 1번

이화여대 2017학년도 수시 자연계열 I 1번 · mathesis.kr/archive/ewha/2017su/jayeon1_1

배점30점
예상 소요 시간미공개
다음 문제

문제

🔒
짧은 시간에 너무 많은 문제를 여셔서 열람을 잠시 제한했습니다. 잠시 후 다시 시도하시거나 로그인해 주세요.
해설강의 준비중

논술 사인·코사인의 거듭제곱의 정적분(월리스 공식)

🔒
멤버십 회원 전용 개념강의입니다.
멤버십 가입하기

심화 부분적분법의 반복

관련 개념강의 준비중

수열의 극한값의 대소 관계

관련 개념강의 준비중

이화여대 2017학년도 수시 자연계열 I 1번 · mathesis.kr/archive/ewha/2017su/jayeon1_1

+2점 · 구간 [0,π2]\displaystyle \left[0,\frac{\pi}{2}\right]에서 0≤sin⁡x≤1\displaystyle 0\le\sin x\le 1을 언급

1-(1) (풀이)구간 [0,π2]\displaystyle \left[0,\frac{\pi}{2}\right]에서 0≤sin⁡x≤1\displaystyle 0\le\sin x\le 1이기 때문에

+1점 · 구간 [0,π2]\displaystyle \left[0,\frac{\pi}{2}\right]에서 sin⁡n+1x≤sin⁡nx\displaystyle \sin^{n+1}x\le\sin^{n}x

sin⁡n+1x≤sin⁡nx\displaystyle \sin^{n+1}x\le\sin^{n}x이다. 그러므로

+1점 · In+1=∫0π2sin⁡n+1x dx≤∫0π2sin⁡nx dx=In\displaystyle I_{n+1}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n+1}x\,dx\le\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}x\,dx=I_{n}

In+1=∫0π2sin⁡n+1x dx≤∫0π2sin⁡nx dx=In\displaystyle I_{n+1}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n+1}x\,dx\le\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}x\,dx=I_{n}이 성립한다.

+2점 · sin⁡nx\displaystyle \sin^{n}x를 sin⁡n−1x⋅sin⁡x\displaystyle \sin^{n-1}x\cdot\sin x로 나타냄.

1-(2) (풀이)1\displaystyle 1보다 큰 자연수 n\displaystyle n에 대하여 부분적분법을 이용하면In=∫0π2sin⁡nx dx=∫0π2sin⁡n−1x⋅sin⁡x dx\displaystyle \begin{aligned} I_{n} &=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}x\,dx \\ &=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n-1}x\cdot\sin x\,dx \end{aligned}

+7점 · ∫0π2sin⁡n−1x⋅sin⁡x dx\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n-1}x\cdot\sin x\,dx에 부분적분을 적용하여 ∫0π2sin⁡n−1x⋅sin⁡x dx=[sin⁡n−1x(−cos⁡x)]0π2+(n−1)∫0π2sin⁡n−2xcos⁡2x dx\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n-1}x\cdot\sin x\,dx=\Biggl[\sin^{n-1}x(-\cos x)\Biggr]_{0}^{\frac{\pi}{2}}+(n-1)\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n-2}x\cos^{2}x\,dx을 얻음

=[sin⁡n−1x(−cos⁡x)]0π2+∫0π2(n−1)sin⁡n−2xcos⁡2x dx=∫0π2(n−1)sin⁡n−2xcos⁡2x dx\displaystyle \begin{aligned} &=\Biggl[\sin^{n-1}x(-\cos x)\Biggr]_{0}^{\frac{\pi}{2}}+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(n-1)\sin^{n-2}x\cos^{2}x\,dx \\ &=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(n-1)\sin^{n-2}x\cos^{2}x\,dx \end{aligned}

+3점 · ∫0π2sin⁡n−2xcos⁡2x dx=∫0π2sin⁡n−2x dx−∫0π2sin⁡nx dx\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n-2}x\cos^{2}x\,dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n-2}x\,dx-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}x\,dx을 얻음.

=(n−1)∫0π2sin⁡n−2x(1−sin⁡2x)dx=(n−1)∫0π2sin⁡n−2x dx−(n−1)∫0π2sin⁡nx dx\displaystyle \begin{aligned} &=(n-1)\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n-2}x\left(1-\sin^{2}x\right)dx \\ &=(n-1)\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n-2}x\,dx-(n-1)\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}x\,dx \end{aligned}

+2점 · In=(n−1)In−2−(n−1)In\displaystyle I_{n}=(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_{n}을 정리하여 In=n−1nIn−2\displaystyle I_{n}=\frac{n-1}{n}I_{n-2}을 얻음.

=(n−1)In−2−(n−1)In\displaystyle =(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_{n}이므로 nIn=(n−1)In−2\displaystyle nI_{n}=(n-1)I_{n-2}이고 In=n−1nIn−2\displaystyle I_{n}=\frac{n-1}{n}I_{n-2}이다.

+2점 · 문항 (2)로부터 2n2n+1=I2n+1I2n−1\displaystyle \frac{2n}{2n+1}=\frac{I_{2n+1}}{I_{2n-1}}을 얻음.

1-(3) (풀이)(2)에 의하여 2n2n+1=I2n+1I2n−1\displaystyle \frac{2n}{2n+1}=\frac{I_{2n+1}}{I_{2n-1}}이 성립하고,

+3점 · 문항 (1)로부터 I2n+1I2n−1≤I2n+1I2n\displaystyle \frac{I_{2n+1}}{I_{2n-1}}\le\frac{I_{2n+1}}{I_{2n}}을 얻음.

(1)에 의하여 I2n≤I2n−1\displaystyle I_{2n}\le I_{2n-1}이므로 I2n+1I2n−1≤I2n+1I2n\displaystyle \frac{I_{2n+1}}{I_{2n-1}}\le\frac{I_{2n+1}}{I_{2n}}이 되고,

+3점 · 문항 (1)로부터 I2n+1I2n≤1\displaystyle \frac{I_{2n+1}}{I_{2n}}\le 1을 얻음.

또 (1)에 의하여 I2n+1≤I2n\displaystyle I_{2n+1}\le I_{2n}이므로 I2n+1I2n≤1\displaystyle \frac{I_{2n+1}}{I_{2n}}\le 1이다.

+3점 · 문항 (3)의 부등식에 수열의 조임정리 적용

1-(4) (풀이)(3)에 의하여 2n2n+1≤I2n+1I2n≤1\displaystyle \frac{2n}{2n+1}\le\frac{I_{2n+1}}{I_{2n}}\le 1이 성립하므로 수열의 조임정리에 의하여1=lim⁡n→∞2n2n+1≤lim⁡n→∞I2n+1I2n≤1\displaystyle 1=\lim_{n\to\infty}\frac{2n}{2n+1}\le\lim_{n\to\infty}\frac{I_{2n+1}}{I_{2n}}\le 1

+1점 · 극한값을 1\displaystyle 1로 얻음.

이므로 lim⁡n→∞I2n+1I2n=1\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{I_{2n+1}}{I_{2n}}=1 이다.

이 문항 오류 제보

첨삭 사례

아직 등록된 첨삭 사례가 없습니다.

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개

아직 등록된 질문이 없습니다. 질문 작성은 멤버십 회원만 가능합니다.