자연계열 I 1번

1-(1) (풀이)구간 $\displaystyle \left[0,\frac{\pi}{2}\right]$에서 $\displaystyle 0\le\sin x\le 1$이기 때문에

$\displaystyle \sin^{n+1}x\le\sin^{n}x$이다. 그러므로

$\displaystyle I_{n+1}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n+1}x\,dx\le\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}x\,dx=I_{n}$이 성립한다.

1-(2) (풀이)$\displaystyle 1$보다 큰 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 부분적분법을 이용하면$\displaystyle \begin{aligned} I_{n} &=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}x\,dx \\ &=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n-1}x\cdot\sin x\,dx \end{aligned}$

$\displaystyle \begin{aligned} &=\Biggl[\sin^{n-1}x(-\cos x)\Biggr]_{0}^{\frac{\pi}{2}}+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(n-1)\sin^{n-2}x\cos^{2}x\,dx \\ &=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(n-1)\sin^{n-2}x\cos^{2}x\,dx \end{aligned}$

$\displaystyle \begin{aligned} &=(n-1)\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n-2}x\left(1-\sin^{2}x\right)dx \\ &=(n-1)\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n-2}x\,dx-(n-1)\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}x\,dx \end{aligned}$

$\displaystyle =(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_{n}$이므로 $\displaystyle nI_{n}=(n-1)I_{n-2}$이고 $\displaystyle I_{n}=\frac{n-1}{n}I_{n-2}$이다.

1-(3) (풀이)(2)에 의하여 $\displaystyle \frac{2n}{2n+1}=\frac{I_{2n+1}}{I_{2n-1}}$이 성립하고,

(1)에 의하여 $\displaystyle I_{2n}\le I_{2n-1}$이므로 $\displaystyle \frac{I_{2n+1}}{I_{2n-1}}\le\frac{I_{2n+1}}{I_{2n}}$이 되고,

또 (1)에 의하여 $\displaystyle I_{2n+1}\le I_{2n}$이므로 $\displaystyle \frac{I_{2n+1}}{I_{2n}}\le 1$이다.

1-(4) (풀이)(3)에 의하여 $\displaystyle \frac{2n}{2n+1}\le\frac{I_{2n+1}}{I_{2n}}\le 1$이 성립하므로 수열의 조임정리에 의하여$\displaystyle 1=\lim_{n\to\infty}\frac{2n}{2n+1}\le\lim_{n\to\infty}\frac{I_{2n+1}}{I_{2n}}\le 1$

이므로 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{I_{2n+1}}{I_{2n}}=1$ 이다.