자연계열 II 2번

2-(1) 부등식 $\displaystyle (|y|+|x-2|-3)(|y|+|x+2|-3)\le0$을 만족하는 영역을 좌표평면 위에 나타내시오.

+3점 · 좌표 평면위에 $\displaystyle |y|+|x-2|=3$과 $\displaystyle |y|+|x+2|=3$을 각각 마름모로 나타낸다. +2점 · 부등식의 부호에 따라 답의 영역을 나타낸다.

따라서 부등식을 만족하는 영역은 두 마름모 $\displaystyle |y|+|x-2|=3$와 $\displaystyle |y|+|x+2|=3$ 내부의 점과 경계의 점의 합집합$\displaystyle \{(x,y)\mid|y|+|x-2|\le3\}\cup\{(x,y)\mid|y|+|x+2|\le3\}$에서 교집합이 나타내는 영역의 내부$\displaystyle \{(x,y)\mid|y|+|x-2|<3,\ |y|+|x+2|<3\}$을 뺀 것이다.따라서 구하는 영역은 오른쪽과 같다.

(2) 부등식 $\displaystyle 2|y|+|x-2|+|x+2|\le8$을 만족하는 영역을 좌표평면 위에 나타내시오.

+3점 · 경계를 나타내는 그래프를 바르게 그린다. +2점 · 부등식이 나타내는 영역을 올바르게 표시한다.

따라서 문항의 부등식이 나타내는 영역은 그래프$\displaystyle y=-\frac{|x-2|+|x+2|}2+4,$$\displaystyle y=\frac{|x-2|+|x+2|}2-4$사이의 점들이다.따라서 구하는 영역은 오른쪽과 같다.

(3) 집합 $\displaystyle D$의 영역을 좌표평면 위에 나타내고 넓이를 구하시오.

따라서 주어진 영역은 세 부등식$\displaystyle \begin{cases}|y|+|x-2|\ge3\\|y|+|x+2|\ge3\\2|y|+|x-2|+|x+2|\le8\end{cases}$을 모두 만족하는 좌표 평면의 점으로 문항(2)에 따라 구하는 영역은 오른쪽과 같다.

(ㄴ) [영역(ii)] $\displaystyle |y|+|x-2|\le3$이고 $\displaystyle |y|+|x+2|\le3$일 때, 부등식을 풀면$\displaystyle \begin{aligned}|y|+|x-2|-3+|y|+|x+2|-3&\ge-2\\\Rightarrow\quad2|y|+|x-2|+|x+2|&\ge4\end{aligned}$이다. 주어진 영역에서 $\displaystyle -1\le x\le1$이므로$\displaystyle \begin{aligned}2|y|+|x-2|+|x+2|=2|y|+2-x+x+2&\ge4\\\Rightarrow\quad2|y|&\ge0\end{aligned}$따라서 주어진 영역에서 모든 점이 부등식을만족하며 구하는 영역은 두 부등식$\displaystyle |y|+|x-2|\le3$과 $\displaystyle |y|+|x+2|\le3$를 만족하는 평면위의 점으로 영역은 다음과 같다.

(ㄷ) [영역(iii)] $\displaystyle |y|+|x-2|\le3$이고 $\displaystyle |y|+|x+2|\ge3$일 때, 부등식을 풀면$\displaystyle \begin{aligned}-|y|-|x-2|+3+|y|+|x+2|-3&\le2\\\Rightarrow\quad-|x-2|+|x+2|&\le2\end{aligned}$이다. 주어진 영역에서 $\displaystyle 0\le x\le5$이므로 부등식$\displaystyle -|x-2|+|x+2|\le2$를 $\displaystyle 0\le x\le5$에서 풀면$\displaystyle 0\le x\le1$이다. 또한 직선 $\displaystyle x=1$와원 $\displaystyle |y|+|x-2|=3$의 교점은 $\displaystyle (1,\pm2)$이다. 따라서Correction. 이 도형을 가리키는 “원”은 “마름모”의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.주어진 영역에서 구하는 부등식의 영역은세 부등식$\displaystyle \begin{cases}|y|+|x-2|\le3\\|y|+|x+2|\ge3\\0\le x\le1\end{cases}$을 만족하는 좌표평면의 점의 집합으로 오른쪽 그림과 같다.

(ㄹ) [영역(iv)] $\displaystyle |y|+|x-2|\ge3$이고 $\displaystyle |y|+|x+2|\le3$일 때, 부등식을 풀면$\displaystyle \begin{aligned}|y|+|x-2|-3-|y|-|x+2|+3&\le2\\\Rightarrow\quad|x-2|-|x+2|&\le2\end{aligned}$이다. 주어진 영역에서 $\displaystyle -5\le x\le0$이므로 부등식 $\displaystyle |x-2|-|x+2|\le2$를 $\displaystyle -5\le x\le0$에서 풀면 $\displaystyle -1\le x\le0$이다. 직선 $\displaystyle x=-1$와 원 $\displaystyle |y|+|x+2|=3$의 교점은 $\displaystyle (-1,\pm2)$이다. 따라서 주어진 영역에서 구하는 부등식의 영역은 세 부등식Correction. 이 도형을 가리키는 “원”은 “마름모”의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \begin{cases}|y|+|x-2|\ge3\\|y|+|x+2|\le3\\-1\le x\le0\end{cases}$을 만족하는 좌표평면의 점의 집합으로 오른쪽 그림과 같다.

+2점 · 네 영역을 모아서 좌표평면 위에 직사각형으로 나타낸다.

위 (ㄱ),(ㄴ),(ㄷ),(ㄹ)에서 구한 영역을 모두 합하여 구하는 부등식의 영역 $\displaystyle D$를 나타내면 오른쪽과 같이 가로 2, 세로 4인 직사각형이다.