자연계열 II 3번

(풀이) 직선 $\displaystyle l$의 방정식을 $\displaystyle y=mx\ (m>0)$라 하면, 점 $\displaystyle A,B$는 각각 반지름이 $\displaystyle a$인 원과 반지름이 $\displaystyle b$인 원 위의 점이므로 $\displaystyle A=(x,mx),B=\left(\frac ba x,\frac{mb}a x\right)$가 된다. 이 때 점 $\displaystyle P$의 좌표는 $\displaystyle \left(x,\frac{mb}a x\right)$가 된다.

삼각형 $\displaystyle riangle ABP$의 넓이는$\displaystyle S(x)=\frac12\left(x-\frac ba x\right)\left(mx-\frac{mb}a x\right)=\frac12m\left(1-\frac ba\right)^2x^2,\ (0<x<a)$가 된다.

한편 $\displaystyle A$는 반지름 $\displaystyle a$인 원 위의 점이므로 $\displaystyle x^2+m^2x^2=a^2$이 되어 $\displaystyle m=\frac{\sqrt{a^2-x^2}}x$이 된다.따라서 삼각형 $\displaystyle riangle ABP$의 넓이는$\displaystyle S(x)=\frac12\left(1-\frac ba\right)^2x\sqrt{a^2-x^2},\ (0<x<a)$가 된다.

한편 $\displaystyle x\sqrt{a^2-x^2}=\sqrt{a^2x^2-x^4}=\sqrt{\frac{a^4}4-\left(x^2-\frac{a^2}2\right)^2}$이므로 $\displaystyle S(x)$의 최댓값은 $\displaystyle \frac14(a-b)^2$이다.

(풀이) 점 $\displaystyle A,B$가 같은 직선 $\displaystyle l$ 위의 점이면서 각각 반지름이 $\displaystyle a$인 원과 반지름이 $\displaystyle b$인 원 위의 점이므로 $\displaystyle A=(x,y),B=\left(\frac ba x,\frac ba y\right)$가 된다. 이 때 점 $\displaystyle P$의 좌표는 $\displaystyle \left(x,\frac ba y\right)$가 된다.$\displaystyle P\left(x,\frac ba y\right)=(X,Y)$라 하면 점 $\displaystyle A(x,y)$가 원 $\displaystyle x^2+y^2=a^2,\ (0<x<a,0<y<a)$ 위의 점이므로 $\displaystyle a^2=x^2+y^2=X^2+\left(\frac abY\right)^2$가 성립한다.

따라서 점 $\displaystyle P(X,Y)$들의 집합은 타원의 방정식 $\displaystyle \frac{X^2}{a^2}+\frac{Y^2}{b^2}=1,\ (0<X<a,0<Y<b)$을 만족한다.

(풀이) 두 선분 $\displaystyle PQ,PQ^{\prime}$의 길이의 합이 일정하게 되면 점 $\displaystyle P$는 점 $\displaystyle Q,Q^{\prime}$가 초점인 타원 위의 점이 된다.

즉, 점 $\displaystyle P(x,y)$는 어떤 $\displaystyle c>d>0$에 대하여 $\displaystyle \frac{x^2}{c^2}+\frac{y^2}{d^2}=1,b^2=c^2-d^2$을 만족한다.

한편, 문항 (2)의 결과로부터 점 $\displaystyle P(x,y)$는 타원 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 위의 점이므로$\displaystyle d^2\left(1-\frac{x^2}{c^2}\right)=y^2=b^2\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)$이 성립한다.

$\displaystyle b^2=c^2-d^2$이므로 $\displaystyle c^2-2b^2-\left(1-\frac{b^2}{c^2}-\frac{b^2}{a^2}\right)x^2=0,\ (0<x<a)$이 성립한다.따라서 $\displaystyle a^2=2b^2$이 되고 $\displaystyle a,b$가 양수이므로 $\displaystyle \frac ab=\sqrt2$임을 알 수 있다.

(풀이) $\displaystyle \angle QPH=\angle Q^{\prime}PH^{\prime}$가 되는 것은$\displaystyle \frac{\overline{QH}}{\overline{QP}}=\sin\angle QPH=\sin\angle Q^{\prime}PH^{\prime}=\frac{\overline{Q^{\prime}H^{\prime}}}{\overline{Q^{\prime}P}}$이 되는 것과 같다.

점 $\displaystyle P(x_1,y_1)$가 타원 $\displaystyle \frac{x^2}2+y^2=b^2$ 위의 점이므로 점 $\displaystyle P(x_1,y_1)$에서 접선의 방정식이 $\displaystyle \frac{x_1}2x+y_1y=b^2$이 된다.

점과 직선사이의 거리에 의해서$\displaystyle \overline{QH}=\frac{b\left|\frac{x_1}2-b\right|}{\sqrt{\left(\frac{x_1}2\right)^2+y_1^2}},\ \overline{Q^{\prime}H^{\prime}}=\frac{b\left|\frac{x_1}2+b\right|}{\sqrt{\left(\frac{x_1}2\right)^2+y_1^2}}$이 되고, 두 점사이의 거리에 의해

$\displaystyle \overline{QP}=\sqrt{(x_1-b)^2+y_1^2},\ \overline{Q^{\prime}P}=\sqrt{(x_1+b)^2+y_1^2}$가 된다. 따라서

$\displaystyle \begin{aligned}\frac{\overline{QH}}{\overline{QP}}=\frac{\overline{Q^{\prime}H^{\prime}}}{\overline{Q^{\prime}P}}&\Leftrightarrow\frac{b^2\left(\frac{x_1}2-b\right)^2}{\left(\left(\frac{x_1}2\right)^2+y_1^2\right)((x_1-b)^2+y_1^2)}=\frac{b^2\left(\frac{x_1}2+b\right)^2}{\left(\left(\frac{x_1}2\right)^2+y_1^2\right)((x_1+b)^2+y_1^2)}\\&\Leftrightarrow\frac{\left(\frac{x_1}2-b\right)^2}{(x_1-b)^2+y_1^2}=\frac{\left(\frac{x_1}2+b\right)^2}{(x_1+b)^2+y_1^2}\end{aligned}$

점 $\displaystyle P(x_1,y_1)$가 타원 $\displaystyle \frac{x^2}2+y^2=b^2$ 위의 점이므로 $\displaystyle y_1^2=b^2-\frac{x_1^2}2$가 성립한다. 따라서$\displaystyle (x_1-b)^2+y_1^2=(x_1-b)^2+b^2-\frac{x_1^2}2=2\left(\frac{x_1}2-b\right)^2,\ (x_1+b)^2+y_1^2=(x_1+b)^2+b^2-\frac{x_1^2}2=2\left(\frac{x_1}2+b\right)^2$가 되어 $\displaystyle \frac{\left(\frac{x_1}2-b\right)^2}{(x_1-b)^2+y_1^2}=\frac12=\frac{\left(\frac{x_1}2+b\right)^2}{(x_1+b)^2+y_1^2}$이 된다.따라서 $\displaystyle \frac{\overline{QH}}{\overline{QP}}=\frac{\overline{Q^{\prime}H^{\prime}}}{\overline{Q^{\prime}P}}$가 성립되어 $\displaystyle \angle QPH=\angle Q^{\prime}PH^{\prime}$가 되는 것을 알 수 있다.