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자연계열 I 2번

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이화여대 2018학년도 수시 자연계열 I 2번 · mathesis.kr/archive/ewha/2018su/jayeon1_2

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[문제 2] 자연수 n\displaystyle n에 대하여 두 함수 f(x)\displaystyle f(x)와 g(x)\displaystyle g(x)가 각각f(x)=x3+6nx+2n, g(x)=3nx2+3x+n2+4\displaystyle f(x)=x^3+6nx+2n,\ g(x)=3nx^2+3x+n^2+4이다. 자연수 n\displaystyle n에 대하여 두 곡선 f(x)\displaystyle f(x)와 g(x)\displaystyle g(x)가 만나는 서로 다른 교점의 개수가 2 이상인 자연수 n\displaystyle n을 모두 구하시오. [30점]

해설강의 준비중

이화여대 2018학년도 수시 자연계열 I 2번 · mathesis.kr/archive/ewha/2018su/jayeon1_2

2 자연수 n\displaystyle n에 대하여 두 함수 f(x)\displaystyle f(x)와 g(x)\displaystyle g(x)가 각각f(x)=x3+6nx+2n, g(x)=3nx2+3x+n2+4\displaystyle f(x)=x^3+6nx+2n,\ g(x)=3nx^2+3x+n^2+4이다. 자연수 n\displaystyle n에 대하여 두 곡선 f(x)\displaystyle f(x)와 g(x)\displaystyle g(x)가 만나는 서로 다른 교점의 개수가 2 이상인 자연수 n\displaystyle n을 모두 구하시오.

+8점 · 삼차식 h(x)=f(x)−g(x)=0\displaystyle h(x)=f(x)-g(x)=0이 두 개 이상의 근을 갖기 위한 조건으로 h(x)\displaystyle h(x)의 극댓값이 0보다 크거나 같고(크고) 극솟값이 0보다 작아야(작거나 같아야) 함을 지적함

(풀이) h(x)=f(x)−g(x)=x3−3nx2+3(2n−1)x−n2+2n−4\displaystyle h(x)=f(x)-g(x)=x^3-3nx^2+3(2n-1)x-n^2+2n-4라 하면,삼차식 h(x)=0\displaystyle h(x)=0이 두 개 이상의 근을 갖기 위해서는 h(x)\displaystyle h(x)의 극댓값이 0보다 크거나 같고(크고) 극솟값이 0보다 작아야(작거나 같아야) 한다.

+4점 · h′(x)=3x2−6nx+6n−3=3(x−1)(x−2n+1)=0\displaystyle h^{\prime}(x)=3x^2-6nx+6n-3=3(x-1)(x-2n+1)=0으로부터 극점 x=1,x=2n−1\displaystyle x=1,x=2n-1을 찾음

한편h′(x)=3x2−6nx+6n−3=3(x−1)(x−2n+1)=0\displaystyle h^{\prime}(x)=3x^2-6nx+6n-3=3(x-1)(x-2n+1)=0이므로, 극점은 x=1\displaystyle x=1이거나 x=2n−1\displaystyle x=2n-1이다.

+6점 · n\displaystyle n이 자연수라는 조건으로부터 2n−1≥2−1=1\displaystyle 2n-1\ge2-1=1을 확인하고 h(1)\displaystyle h(1)이 극댓값이고, h(2n−1)\displaystyle h(2n-1)가 극솟값임을 지적함

n\displaystyle n은 자연수이므로 2n−1≥2−1=1\displaystyle 2n-1\ge2-1=1이 성립한다. 따라서 삼차식 h(x)=0\displaystyle h(x)=0이 두 개 이상의 근을 갖기 위해서는 삼차함수 h(x)\displaystyle h(x)는 x=1\displaystyle x=1에서 극댓값을 갖고 x=2n−1\displaystyle x=2n-1에서 극솟값을 가져야 한다.

+5점 · 극댓값 조건 h(1)=−n2+5n−6≥0\displaystyle h(1)=-n^2+5n-6\ge0과 n\displaystyle n이 자연수라는 조건으로부터 n=2\displaystyle n=2이거나 n=3\displaystyle n=3임을 보임

극댓값이 0보다 크거나 같아야 하므로h(1)=1−3n+6n−3−n2+2n−4=−n2+5n−6≥0\displaystyle h(1)=1-3n+6n-3-n^2+2n-4=-n^2+5n-6\ge0즉, n2−5n+6=(n−2)(n−3)≤0\displaystyle n^2-5n+6=(n-2)(n-3)\le0이 성립한다. 따라서 2≤n≤3\displaystyle 2\le n\le3을 만족하는 자연수이다. 즉 n=2\displaystyle n=2이거나 n=3\displaystyle n=3이다.

+5점 · 극솟값 h(2n−1)\displaystyle h(2n-1)이 n=2\displaystyle n=2인 경우 h(2n−1)=−4<0\displaystyle h(2n-1)=-4<0이고, n=3\displaystyle n=3인 경우 h(2n−1)=−32<0\displaystyle h(2n-1)=-32<0임을 보임으로써 극솟값이 0보다 작음을 보임

한편 극솟값은h(2n−1)=(2n−1)3−3n(2n−1)2+3(2n−1)2−n2+2n−4=−(2n−1)2(n−2)−n(n−2)−4\displaystyle \begin{aligned}h(2n-1)&=(2n-1)^3-3n(2n-1)^2+3(2n-1)^2-n^2+2n-4\\&=-(2n-1)^2(n-2)-n(n-2)-4\end{aligned}이므로, n=2\displaystyle n=2인 경우는 h(3)=−4\displaystyle h(3)=-4이고, n=3\displaystyle n=3인 경우는 h(5)=−32<0\displaystyle h(5)=-32<0이 되어 두 경우 모두 극솟값이 0보다 작다.

+2점 · 결론적으로 n=2\displaystyle n=2이거나 n=3\displaystyle n=3인 경우만 두 곡선 f(x)\displaystyle f(x)와 g(x)\displaystyle g(x)가 두 점 이상에서 만남을 주장함

결론적으로 n=2\displaystyle n=2이거나 n=3\displaystyle n=3인 경우만 두 곡선 f(x)\displaystyle f(x)와 g(x)\displaystyle g(x)가 두 점 이상에서 만난다.

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