자연계열 I 2번

(풀이) $\displaystyle h(x)=f(x)-g(x)=x^3-3nx^2+3(2n-1)x-n^2+2n-4$라 하면,삼차식 $\displaystyle h(x)=0$이 두 개 이상의 근을 갖기 위해서는 $\displaystyle h(x)$의 극댓값이 0보다 크거나 같고(크고) 극솟값이 0보다 작아야(작거나 같아야) 한다.

한편$\displaystyle h^{\prime}(x)=3x^2-6nx+6n-3=3(x-1)(x-2n+1)=0$이므로, 극점은 $\displaystyle x=1$이거나 $\displaystyle x=2n-1$이다.

$\displaystyle n$은 자연수이므로 $\displaystyle 2n-1\ge2-1=1$이 성립한다. 따라서 삼차식 $\displaystyle h(x)=0$이 두 개 이상의 근을 갖기 위해서는 삼차함수 $\displaystyle h(x)$는 $\displaystyle x=1$에서 극댓값을 갖고 $\displaystyle x=2n-1$에서 극솟값을 가져야 한다.

극댓값이 0보다 크거나 같아야 하므로$\displaystyle h(1)=1-3n+6n-3-n^2+2n-4=-n^2+5n-6\ge0$즉, $\displaystyle n^2-5n+6=(n-2)(n-3)\le0$이 성립한다. 따라서 $\displaystyle 2\le n\le3$을 만족하는 자연수이다. 즉 $\displaystyle n=2$이거나 $\displaystyle n=3$이다.

한편 극솟값은$\displaystyle \begin{aligned}h(2n-1)&=(2n-1)^3-3n(2n-1)^2+3(2n-1)^2-n^2+2n-4\\&=-(2n-1)^2(n-2)-n(n-2)-4\end{aligned}$이므로, $\displaystyle n=2$인 경우는 $\displaystyle h(3)=-4$이고, $\displaystyle n=3$인 경우는 $\displaystyle h(5)=-32<0$이 되어 두 경우 모두 극솟값이 0보다 작다.

결론적으로 $\displaystyle n=2$이거나 $\displaystyle n=3$인 경우만 두 곡선 $\displaystyle f(x)$와 $\displaystyle g(x)$가 두 점 이상에서 만난다.