자연계열 II 1번

(풀이) 삼각함수의 미분법과 합성합수의 미분법에 의해, 도함수는 아래와 같이 계산된다.$\displaystyle \begin{aligned}f^{\prime}(\theta)&=2\cos^2\theta\sin\theta+2\sin^2\theta\cos\theta-3(\cos\theta+\sin\theta)\\&=(2\cos\theta\sin\theta-3)(\cos\theta+\sin\theta)\end{aligned}$

$\displaystyle t^2=\cos^2\theta+\sin^2\theta+2\cos\theta\sin\theta=1+2\cos\theta\sin\theta$를 이용하여 도함수를 $\displaystyle t$에 대한 다항식으로 다음과 같이 표현할 수 있다.$\displaystyle f^{\prime}(\theta)=(t^2-4)t=t^3-4t$

(풀이) 함수 $\displaystyle f(x)$는 주기가 $\displaystyle 2\pi$인 주기함수이고, 실수 전체에서 미분가능하다. 따라서 $\displaystyle [0,2\pi)$ 구간에서 함수 $\displaystyle f(x)$의 최댓값, 최솟값을 찾으면 된다. 한편 함수 $\displaystyle f(x)$는 극값을 갖는 점에서 최댓값, 최솟값을 갖는다.

$\displaystyle t^2=(\cos\theta+\sin\theta)^2=1+2\sin\theta\cos\theta\le2$에서 삼각함수의 덧셈정리$\displaystyle \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta,\alpha=\beta$이면, $\displaystyle \sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$를 적용하면$\displaystyle t^2=(\cos\theta+\sin\theta)^2=1+2\sin\theta\cos\theta=1+\sin2\theta\le2$이므로, $\displaystyle t^2-4<0$이고,$\displaystyle f^{\prime}(\theta)=t(t^2-4)=0$의 필요충분조건은 $\displaystyle t=\cos\theta+\sin\theta=0$이다.$\displaystyle t=0$일 때, $\displaystyle t^2=1+\sin2\theta=0$이고, $\displaystyle \sin2\theta=-1$이다.함수 $\displaystyle f(\theta)$는 따라서 $\displaystyle \theta=\frac{3\pi}4$ 그리고 $\displaystyle \frac{7\pi}4$에서 극값을 갖는다. 극값은 다음과 같이 계산된다.

$\displaystyle \begin{aligned}f\left(\frac{3\pi}4\right)&=-\frac23\left(\left(-\frac1{\sqrt2}\right)^3-\left(\frac1{\sqrt2}\right)^3\right)+3\left(-\frac1{\sqrt2}-\frac1{\sqrt2}\right)=-\frac83\sqrt2\\f\left(\frac{7\pi}4\right)&=-\frac23\left(\left(\frac1{\sqrt2}\right)^3-\left(-\frac1{\sqrt2}\right)^3\right)+3\left(\frac1{\sqrt2}+\frac1{\sqrt2}\right)=\frac83\sqrt2\end{aligned}$따라서, 함수 $\displaystyle f(\theta)$의 최댓값은 $\displaystyle \frac83\sqrt2$이고, 최솟값은 $\displaystyle -\frac83\sqrt2$이다.