자연계열 II 3번

(풀이) $\displaystyle h(x)=f(x)-g(x)=2x^3-3(n+1)x^2+6nx-4n^2+20n-28$라 하면, 삼차식 $\displaystyle h(x)=0$이 두 개 이상의 근을 갖기 위해서는 $\displaystyle h(x)$의 극댓값이 0보다 크거나 같고(크고) 극솟값이 0보다 작아야(작거나 같아야) 한다. 한편

$\displaystyle h^{\prime}(x)=6x^2-6(n+1)x+6n=6(x-1)(x-n)=0$이므로, 극값을 갖는 점은 $\displaystyle x=1$이거나 $\displaystyle x=n$이다.

$\displaystyle n$은 자연수이므로 $\displaystyle n\ge1$이 성립한다. 따라서 삼차식 $\displaystyle h(x)=0$이 두 개 이상의 근을 갖기 위해서는 삼차함수 $\displaystyle h(x)$는 $\displaystyle x=1$에서 극댓값을 갖고 $\displaystyle x=n$에서 극솟값을 가져야 한다.

극댓값이 0보다 크거나 같아야 하므로$\displaystyle h(1)=2-3(n+1)+6n-4n^2+20n-28=-4n^2+23n-29\ge0$즉 $\displaystyle 4n^2-23n+29\le0$이 성립한다. 따라서 $\displaystyle \frac{23-\sqrt{65}}8\le n\le\frac{23+\sqrt{65}}8$를 만족하는 자연수이다.

즉, $\displaystyle n=2$이거나 $\displaystyle n=3$이다.

이 경우 극댓값 $\displaystyle h(1)=\begin{cases}1,n=2\\4,n=3\end{cases}$이 되어 0보다 크다.

한편 극솟값은$\displaystyle \begin{aligned}h(n)&=2n^3-3(n+1)n^2+6n^2-4n^2+20n-28\\&=-n^3-n^2+20n-28\\&=-(n-2)(n^2+3n-14)\end{aligned}$이므로, $\displaystyle n=2$인 경우는 $\displaystyle h(2)=0$이고, $\displaystyle n=3$인 경우는 $\displaystyle h(3)=-4<0$이 되어 두 경우 모두 극솟값이 0보다 작거나 같다.

결론적으로 $\displaystyle n=2$이거나 $\displaystyle n=3$인 경우만 두 곡선 $\displaystyle f(x)$와 $\displaystyle g(x)$가 두 점 이상에서 만난다.

(풀이) (1)의 풀이에 의해 두 곡선 $\displaystyle f(x)$와 $\displaystyle g(x)$가 두 점 이상에서 만나는 자연수 $\displaystyle n$은 $\displaystyle n=2$이거나 $\displaystyle n=3$인 경우뿐이다. 한편 두 곡선 $\displaystyle f(x)$와 $\displaystyle g(x)$로 둘러싸인 도형의 넓이는 곡선 $\displaystyle h(x)$와 $\displaystyle x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이와 같다.

(i) $\displaystyle n=2$인 경우,$\displaystyle h(x)=2x^3-9x^2+12x-4=(2x-1)(x-2)^2=0$이므로 근은 $\displaystyle x=\frac12,2$가 된다. 따라서 둘러싸인 도형의 넓이는

$\displaystyle A(2)=\int_{\frac12}^2(2x^3-9x^2+12x-4)\,dx=\Biggl[\frac12x^4-3x^3+6x^2-4x\Biggr]_{\frac12}^2=\frac{27}{32}$이다.

따라서 최댓값은 9이고 최솟값은 $\displaystyle \frac{27}{32}$이다.