자연계열 II 2번

(풀이) 주어진 조건으로부터 제4항 $\displaystyle a_4$는 아래와 같이 표현된다.$\displaystyle a_4=\cos\left(\frac\pi{2^4}\right)\cos\left(\frac\pi{2^3}\right)\cos\left(\frac\pi{2^2}\right)a_1$

여기에 $\displaystyle a_1=1$과 삼각함수의 덧셈정리($\displaystyle \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta,\alpha=\beta$이면, $\displaystyle \sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$)를 적용하면$\displaystyle a_4=\frac{\sin\left(\frac\pi{2^3}\right)}{2\sin\left(\frac\pi{2^4}\right)}\cdot\frac{\sin\left(\frac\pi{2^2}\right)}{2\sin\left(\frac\pi{2^3}\right)}\cdot\frac{\sin\left(\frac\pi2\right)}{2\sin\left(\frac\pi{2^2}\right)}=\frac1{2^3\sin\frac\pi{2^4}}$이 성립한다.

(풀이) (i) $\displaystyle n=1$일 때 $\displaystyle a_1=\frac1{2^0\sin\frac\pi{2^1}}=\frac11=1$이므로 성립한다.

(ii) $\displaystyle n=k$일 때 주어진 수식이 성립한다고 가정하자.즉,$\displaystyle a_k=\frac1{2^{k-1}\sin\frac\pi{2^k}}$

이 경우 위에 주어진 수식은 $\displaystyle a_{k+1}=\left(\cos\frac\pi{2^{k+1}}\right)a_k$와 결합하여 다음의 관계식을 얻는다.$\displaystyle a_{k+1}=\frac{\cos\frac\pi{2^{k+1}}}{2^{k-1}\sin\frac\pi{2^k}}$

여기에서 삼각함수의 덧셈정리($\displaystyle \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta,\alpha=\beta$이면, $\displaystyle \sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$)를 적용하면 수식$\displaystyle a_{k+1}=\cos\frac\pi{2^{k+1}}\cdot\frac1{2^k\sin\frac\pi{2^{k+1}}\cos\frac\pi{2^{k+1}}}=\frac1{2^k\sin\frac\pi{2^{k+1}}}$을 얻는다. 따라서 수학적 귀납법에 의해 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle a_n=\frac1{2^{n-1}\sin\frac\pi{2^n}}$임을 알 수 있다.

(풀이) $\displaystyle a_{n+1}$의 수식을 아래처럼 변형한다.$\displaystyle a_{n+1}=\frac1{2^n\sin\frac\pi{2^{n+1}}}=\frac2\pi\frac{\frac\pi{2^{n+1}}}{\sin\left(\frac\pi{2^{n+1}}\right)}$

그리고 극한 $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin x}x=1$을 이용하면 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\frac2\pi$임을 알 수 있다.