자연계열 II 3번

[풀이]$\displaystyle f(0)=c,f(1)=1+a+b+c$이므로 $\displaystyle c$는 정수이고 $\displaystyle a+b$도 정수이다.$\displaystyle f(2)=8+4a+2b+c=2a+2(a+b)+c+8$이므로 $\displaystyle 2a$가 정수이다. 따라서 구하는 조건은 $\displaystyle 2a,a+b,c$가 정수이다.

[풀이](1)의 풀이를 통해 $\displaystyle c$가 정수이고 실수 $\displaystyle 2a,a+b$ 가 정수라고 하면$\displaystyle f(n)=n^3+an^2+bn+c=n^3+an(n-1)+(a+b)n+c$로 쓸 수 있다. 여기서 연속한 두 정수의 곱 $\displaystyle n(n-1)$은 $\displaystyle 0$보다 크거나 같은 짝수이므로 $\displaystyle an(n-1)$은 정수이고 조건에 따라 $\displaystyle a+b,c$가 정수 이므로 $\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle 0$보다 크거나 같은 모든 정수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle f(n)$이 정수이다.

[풀이]음의 정수 $\displaystyle m$에 대하여$\displaystyle \begin{aligned}f(m)&=m^3+am^2+bm+c\\&=(-m)^3+a(-m)^2+b(-m)+c+2bm+2m^3\\&=f(-m)+2bm+2m^3\end{aligned}$로 쓸 수 있다. $\displaystyle 2a,a+b$ 가 정수인 조건에 따라 $\displaystyle 2b$가 정수이며 양의 정수 $\displaystyle -m$에 대하여 $\displaystyle f(-m)$도 정수이므로 $\displaystyle f(-m)+2bm+2m^3$ 도 정수이다.

[풀이]구하는 순서쌍 $\displaystyle (a,b)$는 $\displaystyle 1\le i,j\le k$ ($\displaystyle i,j$는 자연수)일 때, $\displaystyle (0,0),(i,0),(0,j),(i,j),\left(i-\frac12,j-\frac12\right)$이다.

따라서 구하는 순서쌍의 개수는 $\displaystyle 2k^2+2k+1=2k(k+1)+1$이다. 따라서 구하는 순서쌍의 개수는 항상 홀수이다.