자연계열 II 2번

[풀이]먼저 주어진 도함수 $\displaystyle f^{\prime}(x)$에 대한 적분을 다음과 같이 2개의 적분으로 분리한다.$\displaystyle \begin{aligned}\int f^{\prime}(x)dx&=\int\frac1{1+ax^2}\left(1-\frac{2ax^2}{1+ax^2}\right)dx\\&=\int\frac1{1+ax^2}dx+\int\frac{-2ax^2}{(1+ax^2)^2}dx\qquad(A)\end{aligned}$

그리고 위의 두 번째 적분을 부분적분법을 이용하여 다음과 같이 계산한다.즉 $\displaystyle u(x)=x,v^{\prime}(x)=\frac{-2ax}{(1+ax^2)^2}$ 로 놓으면 $\displaystyle u^{\prime}(x)=1,v(x)=\frac1{1+ax^2}$이므로,$\displaystyle \begin{aligned}\int\frac{-2ax^2}{(1+ax^2)^2}dx&=\int x\frac{-2ax}{(1+ax^2)^2}dx=\int u(x)v^{\prime}(x)dx\\&=u(x)v(x)-\int u^{\prime}(x)v(x)dx\\&=\frac x{1+ax^2}-\int\frac1{1+ax^2}dx\end{aligned}$위의 결과를 수식 (A) 에 대입하여 $\displaystyle f(x)=\frac x{1+ax^2}+C$ 가 성립함을 알 수 있다.

주어진 조건 $\displaystyle f(0)=0$ 로부터 $\displaystyle C=0$ 이므로 $\displaystyle f(x)=\frac x{1+ax^2}$ 이다.

[풀이]함수 $\displaystyle f(x)=\frac x{1+ax^2}$ 이므로, (i) $\displaystyle x\leqq0$ 일 때 $\displaystyle f(x)\leqq0$; (ii) $\displaystyle x>0$ 일 때 $\displaystyle f(x)>0$이다.그러므로 $\displaystyle f(x)$의 최댓값은 $\displaystyle x>0$의 범위에서 찾으면 된다.

먼저 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{1-ax^2}{(1+ax^2)^2}$이므로, $\displaystyle f^{\prime}(x)$의 부호의 변화를 조사하여 다음을 알 수 있다.(i) $\displaystyle x=\frac1{\sqrt a}$ 일 때, $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$이며 $\displaystyle f\left(\frac1{\sqrt a}\right)=\frac1{2\sqrt a}$(ii) $\displaystyle 0<x<\frac1{\sqrt a}$ 일 때, $\displaystyle f^{\prime}(x)>0$이므로 함수 $\displaystyle f(x)$는 이 영역에서 증가한다.(iii) $\displaystyle x>\frac1{\sqrt a}$ 일 때, $\displaystyle f^{\prime}(x)<0$이므로 함수 $\displaystyle f(x)$는 이 영역에서 감소한다.

따라서 함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=\frac1{\sqrt a}$ 일 때, 최댓값 $\displaystyle M(a)=\frac1{2\sqrt a}$을 갖는다.

[풀이](2)번 문제에 의해, 주어진 자연수 $\displaystyle k$에 대해, $\displaystyle M(k)=\frac1{2\sqrt k}$이다.$\displaystyle \begin{aligned}M(n)\sum_{k=1}^n\{M(n)-M(n+k)\}&=\frac1{2\sqrt n}\sum_{k=1}^n\left(\frac1{2\sqrt n}-\frac1{2\sqrt{n+k}}\right)\\&=\frac14\frac1{\sqrt n}\sum_{k=1}^n\left(\frac1{\sqrt n}-\frac1{\sqrt{n+k}}\right)\\&=\frac14\frac1n\sum_{k=1}^n\left(1-\frac{\sqrt n}{\sqrt{n+k}}\right)\\&=\frac14\frac1n\sum_{k=1}^n\left(1-\frac1{\sqrt{1+\frac kn}}\right)\end{aligned}$

따라서 구분구적법에 의해 다음의 결과를 얻게 된다.$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{n\to\infty}M(n)\sum_{k=1}^n\{M(n)-M(n+k)\}&=\frac14\int_0^1\left(1-\frac1{\sqrt{1+t}}\right)dt\\&=\frac14\Biggl[t-2\sqrt{1+t}\Biggr]_0^1=\frac14(3-2\sqrt2)\end{aligned}$