자연계열 II 1번

[풀이]함수 $\displaystyle f(x)=e^x\sin x$를 미분하면 $\displaystyle f^{\prime}(x)=e^x\sin x+e^x\cos x=e^x(\sin x+\cos x)$이고, $\displaystyle x=\frac34\pi$에서만 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$이다. $\displaystyle x<\frac34\pi$에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)>0$이므로 이 구간에서 $\displaystyle f(x)$가 증가하고 $\displaystyle x>\frac34\pi$에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)<0$이므로 이 구간에서 $\displaystyle f(x)$가 감소한다. 그러므로 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=\frac34\pi$에서 최댓값 $\displaystyle f\left(\frac34\pi\right)=e^{\frac34\pi}\sin\frac34\pi=e^{\frac34\pi}\frac1{\sqrt2}$을 가진다. 따라서 $\displaystyle \theta=\frac34\pi$이고 $\displaystyle M=e^{\frac34\pi}\frac1{\sqrt2}$이다.

[풀이]지수함수의 성질과 삼각함수의 덧셈정리에 의하여 아래의 등식을 얻는다.$\displaystyle \begin{aligned}f\left(\theta+\frac1n\pi\right)&=e^{\theta+\frac1n\pi}\sin\left(\theta+\frac1n\pi\right)\\&=e^{\theta+\frac1n\pi}\left\{\sin\theta\cos\frac1n\pi+\cos\theta\sin\frac1n\pi\right\}\\&=e^{\frac34\pi}\cdot e^{\frac1n\pi}\left\{\frac1{\sqrt2}\cos\frac1n\pi-\frac1{\sqrt2}\sin\frac1n\pi\right\}\\&=e^{\frac34\pi}\frac1{\sqrt2}\cdot e^{\frac1n\pi}\left\{\cos\frac1n\pi-\sin\frac1n\pi\right\}\\&=M\cdot e^{\frac1n\pi}\left(\cos\frac1n\pi-\sin\frac1n\pi\right)\end{aligned}$

[풀이]오른쪽 부등식: $\displaystyle x\in[0,\pi]$에 대하여 $\displaystyle 0\le f(x)\le M$이므로 $\displaystyle 0\le\{f(x)\}^n\le M^n$이 성립하고 $\displaystyle f(x)$가 상수함수가 아니므로, 구간 $\displaystyle [0,\pi]$에서 적분하면$\displaystyle \int_0^\pi\{f(x)\}^n dx<\int_0^\pi M^n dx=M^n\pi$이다.

왼쪽 부등식: $\displaystyle n\ge4$일 때, $\displaystyle \frac34\pi<\frac34\pi+\frac1n\pi\le\pi$이고 $\displaystyle f(x)$가 구간 $\displaystyle \left[\frac34\pi,\pi\right]$에서 감소하므로 구간 $\displaystyle \left[\frac34\pi,\frac34\pi+\frac1n\pi\right]$에 속한 $\displaystyle x$에 대하여$\displaystyle f(\pi)\le f\left(\frac34\pi+\frac1n\pi\right)\le f(x)$이다. 따라서$\displaystyle 0\le Me^{\frac1n\pi}\left(\cos\frac1n\pi-\sin\frac1n\pi\right)\le f(x)$가 성립한다. 구간 $\displaystyle \left[\frac34\pi,\frac34\pi+\frac1n\pi\right]$에서$\displaystyle \left\{Me^{\frac1n\pi}\left(\cos\frac1n\pi-\sin\frac1n\pi\right)\right\}^n=M^ne^\pi\left(\cos\frac1n\pi-\sin\frac1n\pi\right)^n\le\{f(x)\}^n$이므로 위의 부등식을 적분하면$\displaystyle M^ne^\pi\left(\cos\frac1n\pi-\sin\frac1n\pi\right)^n\frac1n\pi=\int_{\frac34\pi}^{\frac34\pi+\frac1n\pi}M^ne^\pi\left(\cos\frac1n\pi-\sin\frac1n\pi\right)^n dx\le\int_{\frac34\pi}^{\frac34\pi+\frac1n\pi}\{f(x)\}^n dx$가 성립한다. 그리고 구간 $\displaystyle \left[\frac34\pi,\frac34\pi+\frac1n\pi\right]$가 $\displaystyle [0,\pi]$의 부분집합이고 $\displaystyle f(x)\ge0$이므로$\displaystyle \int_{\frac34\pi}^{\frac34\pi+\frac1n\pi}\{f(x)\}^n dx<\int_0^\pi\{f(x)\}^n dx$가 성립한다. 위의 두 부등식으로부터$\displaystyle M^ne^\pi\left(\cos\frac1n\pi-\sin\frac1n\pi\right)^n\frac1n\pi<\int_0^\pi\{f(x)\}^n dx$를 얻는다. 그러므로 $\displaystyle n\ge4$에 대하여$\displaystyle M^ne^\pi\left(\cos\frac1n\pi-\sin\frac1n\pi\right)^n\frac1n\pi<\int_0^\pi\{f(x)\}^n dx<M^n\pi$가 성립한다.

이므로, 위의 부등식을 다시 쓰면$\displaystyle Me^{\frac\pi n}\left(\cos\frac1n\pi-\sin\frac1n\pi\right)\frac1{n^{\frac1n}}\pi^{\frac1n}<\left(\int_0^\pi\{f(x)\}^n dx\right)^{\frac1n}<M\cdot\pi^{\frac1n}$

이고, 극한값의 대소관계에 의하여$\displaystyle \lim_{n\to\infty}Me^{\frac\pi n}\left(\cos\frac1n\pi-\sin\frac1n\pi\right)\frac1{n^{\frac1n}}\pi^{\frac1n}\le\lim_{n\to\infty}\left(\int_0^\pi\{f(x)\}^n dx\right)^{\frac1n}\le\lim_{n\to\infty}M\cdot\pi^{\frac1n}$이 된다.

여기에서 $\displaystyle \pi$와 $\displaystyle e$는 상수이므로$\displaystyle \lim_{n\to\infty}e^{\frac\pi n}=1$과 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\pi^{\frac1n}=1$

을 얻고, 또한$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\cos\frac1n\pi-\sin\frac1n\pi\right)=\cos0-\sin0=1$

이다. 그러므로$\displaystyle \lim_{n\to\infty}Me^{\frac\pi n}\left(\cos\frac1n\pi-\sin\frac1n\pi\right)\frac1{n^{\frac1n}}\pi^{\frac1n}=M$

이고$\displaystyle \lim_{n\to\infty}M\cdot\pi^{\frac1n}=M$