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자연계열 II 2번

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이화여대 2020학년도 수시 자연계열 II 2번 · mathesis.kr/archive/ewha/2020su/jayeon2_2

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[문제 2] 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 모든 실수 a,b\displaystyle a,b에 대하여 다음 등식을 만족시킨다.f(f(a)+b)=a+f(b)\displaystyle f(f(a)+b)=a+f(b)다음 물음에 답하시오. [35점]

(1) f(0)\displaystyle f(0)의 값을 구하고, 모든 실수 a\displaystyle a에 대하여 f(f(a))=a\displaystyle f(f(a))=a임을 보이시오.

(2) 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 x=2020\displaystyle x=2020에서 연속일 때, f(x)\displaystyle f(x)가 실수 전체의 집합에서 연속임을 보이시오.

(3) 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 x=2020\displaystyle x=2020에서 미분가능할 때, f(x)\displaystyle f(x)가 실수 전체의 집합에서 미분가능함을 보이고, 함수 f(x)\displaystyle f(x)를 모두 구하시오.

해설강의 준비중

이화여대 2020학년도 수시 자연계열 II 2번 · mathesis.kr/archive/ewha/2020su/jayeon2_2

2-(1) f(0)\displaystyle f(0)의 값을 구하고, 모든 실수 a\displaystyle a에 대하여 f(f(a))=a\displaystyle f(f(a))=a임을 보이시오.

+5점 · f(0)=0\displaystyle f(0)=0임을 논리적으로 보임.

[풀이]등식 f(f(a)+b)=a+f(b)\displaystyle f(f(a)+b)=a+f(b)에 b=0\displaystyle b=0을 대입하면f(f(a))=a+f(0)\displaystyle f(f(a))=a+f(0)을 얻는다. 이 등식에 a=0\displaystyle a=0을 대입하면 f(f(0))=f(0)\displaystyle f(f(0))=f(0)을 얻는다. 이 등식이 모든 실수 a\displaystyle a에 대하여 성립하므로 f(0)\displaystyle f(0)을 a\displaystyle a에 대입하면f(f(f(0)))=f(0)+f(0)=2f(0)\displaystyle f(f(f(0)))=f(0)+f(0)=2f(0)이 성립한다. f(f(0))=f(0)\displaystyle f(f(0))=f(0)을 활용하면 f(f(f(0)))=f(f(0))=f(0)\displaystyle f(f(f(0)))=f(f(0))=f(0)이므로 f(0)=2f(0)\displaystyle f(0)=2f(0)을 얻고 따라서 f(0)=0\displaystyle f(0)=0이다.

+5점 · 모든 실수 a\displaystyle a에 대하여 f(f(a))=a\displaystyle f(f(a))=a임을 논리적으로 보임.

이제 f(0)=0\displaystyle f(0)=0이므로 모든 실수 a\displaystyle a에 대하여 등식f(f(a))=a+f(0)=a\displaystyle f(f(a))=a+f(0)=a가 성립함을 알 수 있다.

2-(2) 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 x=2020\displaystyle x=2020에서 연속일 때, f(x)\displaystyle f(x)가 실수 전체의 집합에서 연속임을 보이시오.

+3점 · 임의의 실수 a\displaystyle a에 대하여 lim⁡h→0f(a+h)=f(a)\displaystyle \lim_{h\to0}f(a+h)=f(a)를 보이면 된다는 사실을 명시하거나, 극한 lim⁡h→0f(a+h)\displaystyle \lim_{h\to0}f(a+h)를 고려함.

[풀이]임의의 실수 a\displaystyle a에 대하여 등식lim⁡h→0f(a+h)=f(a)\displaystyle \lim_{h\to0}f(a+h)=f(a)가 성립하면 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 x=a\displaystyle x=a에서 연속이다.

임의의 실수 c,d\displaystyle c,d에 대하여 f(c)\displaystyle f(c)와 d\displaystyle d를 등식의 a,b\displaystyle a,b에 각각 대입하면f(f(f(c))+d)=f(c)+f(d)\displaystyle f(f(f(c))+d)=f(c)+f(d)이다. 문항 (1)에 의하여 f(f(c))=c\displaystyle f(f(c))=c가 성립하므로, f(f(f(c))+d)=f(c+d)\displaystyle f(f(f(c))+d)=f(c+d)이다. 따라서, 모든 실수 c,d\displaystyle c,d에 대하여 다음의 등식이 성립한다.f(c+d)=f(c)+f(d)\displaystyle f(c+d)=f(c)+f(d)

+3점 · f(x)\displaystyle f(x)의 x=2020\displaystyle x=2020에서의 연속성으로부터 lim⁡h→0f(2020+h)=f(2020)\displaystyle \lim_{h\to0}f(2020+h)=f(2020)을 얻어냄.

위에서 얻은 등식을 활용하면, 임의의 실수 a\displaystyle a에 대하여lim⁡h→0f(a+h)=lim⁡h→0f(a−2020+2020+h)=lim⁡h→0{f(a−2020)+f(2020+h)}=f(a−2020)+lim⁡h→0f(2020+h)\displaystyle \begin{aligned}\lim_{h\to0}f(a+h)&=\lim_{h\to0}f(a-2020+2020+h)\\&=\lim_{h\to0}\{f(a-2020)+f(2020+h)\}\\&=f(a-2020)+\lim_{h\to0}f(2020+h)\end{aligned}임을 알 수 있다. f(x)\displaystyle f(x)가 x=2020\displaystyle x=2020에서 연속이므로 lim⁡h→0f(2020+h)=f(2020)\displaystyle \lim_{h\to0}f(2020+h)=f(2020)이다.

+6점 · 임의의 실수 a\displaystyle a에 대하여 lim⁡h→0f(a+h)=f(a)\displaystyle \lim_{h\to0}f(a+h)=f(a)임을 논리적으로 보여서 f\displaystyle f의 연속성을 보임.

따라서lim⁡h→0f(a+h)=f(a−2020)+f(2020)=f(a)\displaystyle \lim_{h\to0}f(a+h)=f(a-2020)+f(2020)=f(a)이므로 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 임의의 실수 x=a\displaystyle x=a에서 연속이다.

2-(3) 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 x=2020\displaystyle x=2020에서 미분가능할 때, f(x)\displaystyle f(x)가 실수 전체의 집합에서 미분가능함을 보이고, 함수 f(x)\displaystyle f(x)를 모두 구하시오.

+3점 · f(x)\displaystyle f(x)가 임의의 실수 x=a\displaystyle x=a에서 미분가능함을 보이기 위하여 극한 lim⁡h→0f(a+h)−f(a)h\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}h를 고려함.

[풀이] 임의의 실수 a\displaystyle a에 대하여 극한lim⁡h→0f(a+h)−f(a)h\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}h가 존재하면 f(x)\displaystyle f(x)가 x=a\displaystyle x=a에서 미분가능하다.

문항 (2)의 풀이에서 얻은 등식 f(c+d)=f(c)+f(d)\displaystyle f(c+d)=f(c)+f(d)를 활용하면lim⁡h→0f(a+h)−f(a)h=lim⁡h→0f(a)+f(h)−f(a)h=lim⁡h→0f(h)h\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}h=\lim_{h\to0}\frac{f(a)+f(h)-f(a)}h=\lim_{h\to0}\frac{f(h)}h이다.

+2점 · f(x)\displaystyle f(x)의 x=2020\displaystyle x=2020에서의 미분가능성으로부터 극한 lim⁡h→0f(2020+h)−f(2020)h\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{f(2020+h)-f(2020)}h이 존재한다는 것을 보임.

위 등식은 특별히 a=2020\displaystyle a=2020일 때에도 성립하므로lim⁡h→0f(2020+h)−f(2020)h=lim⁡h→0f(h)h\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{f(2020+h)-f(2020)}h=\lim_{h\to0}\frac{f(h)}h이다. f(x)\displaystyle f(x)가 x=2020\displaystyle x=2020에서 미분가능하므로 좌변의 극한이 존재하고 극한값은 f′(2020)\displaystyle f^{\prime}(2020)이며, 따라서 우변의 극한도 lim⁡h→0f(h)h=f′(2020)\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{f(h)}h=f^{\prime}(2020)이다.

+5점 · f(x)\displaystyle f(x)가 모든 실수에서 미분가능함을 논리적으로 보임.

그러므로lim⁡h→0f(a+h)−f(a)h=lim⁡h→0f(h)h=f′(2020)\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}h=\lim_{h\to0}\frac{f(h)}h=f^{\prime}(2020)이다. 따라서 f(x)\displaystyle f(x)가 x=a\displaystyle x=a에서 미분가능하고

+1점 · 미분계수를 잘 계산하여 도함수가 f′(x)=k\displaystyle f^{\prime}(x)=k 또는 f′(x)=f′(2020)\displaystyle f^{\prime}(x)=f^{\prime}(2020)인 상수함수임을 보임.

f′(a)=f′(2020)\displaystyle f^{\prime}(a)=f^{\prime}(2020)이다.

+2점 · 답이 f(x)=x\displaystyle f(x)=x 또는 f(x)=−x\displaystyle f(x)=-x 밖에 없음을 논리적으로 보임.

f′(2020)\displaystyle f^{\prime}(2020)을 k\displaystyle k라고 두고 도함수 f′(x)=k\displaystyle f^{\prime}(x)=k를 적분하면 f(0)=0\displaystyle f(0)=0이므로f(x)=kx\displaystyle f(x)=kx이다. 이 식을 등식 f(f(a)+b)=a+f(b)\displaystyle f(f(a)+b)=a+f(b)에 대입하면k2a+kb=a+kb\displaystyle k^2a+kb=a+kb이므로 k2=1\displaystyle k^2=1이다. 즉 k=1\displaystyle k=1 또는 k=−1\displaystyle k=-1.따라서 f(x)=x\displaystyle f(x)=x 또는 f(x)=−x\displaystyle f(x)=-x이다.

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