자연계열 1번

(1) 실수 $\displaystyle a$에 대하여 부등식 $\displaystyle e^{x}-e^{a}\ge e^{a}(x-a)$가 성립함을 보이시오.풀이: 함수 $\displaystyle f(x)=e^{x}-e^{a}-e^{a}(x-a)$의 도함수 $\displaystyle f^{\prime}(x)=e^{x}-e^{a}$는 $\displaystyle x<a$일 때 $\displaystyle f^{\prime}(x)<0$이고, $\displaystyle x>a$일 때 $\displaystyle f^{\prime}(x)>0$이며, $\displaystyle f^{\prime}(a)=0$이다. 함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=a$에서 최솟값 $\displaystyle f(a)=0$을 갖는다. 따라서 $\displaystyle f(x)\ge0$이다. 즉 $\displaystyle e^{x}-e^{a}\ge e^{a}(x-a)$가 성립한다.

(2) 실수 $\displaystyle a$에 대하여 곡선 $\displaystyle y=e^{x}$ 위의 점 $\displaystyle (a,e^{a})$에서의 접선이 직선 $\displaystyle y=1$과 만나는 점을 $\displaystyle (b,1)$이라 할 때, $\displaystyle e^{b}\ge1$임을 보이시오.풀이: $\displaystyle x=a$에서 함수 $\displaystyle f(x)=e^{x}$의 미분계수가 $\displaystyle e^{a}$이므로, 곡선 $\displaystyle y=e^{x}$ 위의 점 $\displaystyle (a,e^{a})$에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle y-e^{a}=e^{a}(x-a)$이다. 이 접선이 직선 $\displaystyle y=1$과 만나는 점이 $\displaystyle (b,1)$이므로 $\displaystyle 1-e^{a}=e^{a}(b-a)$가 성립한다.문항 (1)의 결과로부터 $\displaystyle e^{a}(b-a)\le e^{b}-e^{a}$이 성립하므로 $\displaystyle 1-e^{a}\le e^{b}-e^{a}$를 얻는다. 따라서 $\displaystyle e^{b}\ge1$이 성립한다.

(3) 수열 $\displaystyle \{x_{n}\}$이 다음 규칙에 따라 정해질 때, 위의 조건 (i), (ii)를 만족함을 보임으로써 수열 $\displaystyle \{x_{n}\}$이 수렴함을 보이시오.(ㄱ) $\displaystyle x_{1}=2022$(ㄴ) 곡선 $\displaystyle y=e^{x}$ 위의 점 $\displaystyle (x_{n},e^{x_{n}})$에서의 접선이 직선 $\displaystyle y=1$과 만나는 점의 $\displaystyle x$좌표가 $\displaystyle x_{n+1}$이다. (단, $\displaystyle n=1,2,3,\cdots$)

풀이:(i) 우선 $\displaystyle x_{1}=2022\ge0$이다.곡선 $\displaystyle y=e^{x}$ 위의 점 $\displaystyle (x_{n},e^{x_{n}})$에서의 접선이 직선 $\displaystyle y=1$과 점 $\displaystyle (x_{n+1},1)$에서 만나므로 문항 (2)의 결과로부터 $\displaystyle e^{x_{n+1}}\ge1$이 성립한다. 즉 $\displaystyle x_{n+1}\ge0$이다. 따라서 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle x_{n}\ge0$이 성립한다.(ii) 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle x_{n}\ge0$이 성립하므로 $\displaystyle e^{x_{n}}\ge1$이 된다. 한편 $\displaystyle x_{n+1}$은 식$\displaystyle 1-e^{x_{n}}=e^{x_{n}}(x_{n+1}-x_{n})$을 만족하므로 $\displaystyle x_{n+1}\le x_{n}$이 성립한다.수열 $\displaystyle \{x_{n}\}$이 위의 조건 (i), (ii)를 만족하므로 수렴한다.