자연계열 2번

(1) $\displaystyle B+D=C$임을 보이시오.풀이: 정적분의 성질에 따라 다음을 얻는다.$\displaystyle \begin{aligned}B+D&=\int_{0}^{1}(x^{2022}(1-x)^{2022}+x^{2023}(1-x)^{2021})dx\\&=\int_{0}^{1}x^{2022}(1-x)^{2021}((1-x)+x)dx=\int_{0}^{1}x^{2022}(1-x)^{2021}dx=C\end{aligned}$

(2) $\displaystyle B=\frac{2022}{2023}D$임을 보이시오.풀이: 정적분 $\displaystyle B=\int_{0}^{1}x^{2022}(1-x)^{2022}dx$에 $\displaystyle x^{2022}$을 적분하고 $\displaystyle (1-x)^{2022}$을 미분하여 부분적분법을 적용하면 다음을 얻는다.$\displaystyle B=\Biggl[\frac{x^{2023}}{2023}(1-x)^{2022}\Biggr]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}\frac{x^{2023}}{2023}2022(1-x)^{2021}(-1)dx=\frac{2022}{2023}\int_{0}^{1}x^{2023}(1-x)^{2021}dx=\frac{2022}{2023}D$

(3) $\displaystyle A-B-C=D$임을 보이고, $\displaystyle B=\frac{1011}{4045}A$임을 보이시오.풀이: 정적분의 성질에 따라 정적분 $\displaystyle A-B-C$를 다음과 같이 나타낸다.$\displaystyle \begin{aligned}A-B-C&=\int_{0}^{1}(x^{2021}(1-x)^{2021}-x^{2022}(1-x)^{2022}-x^{2022}(1-x)^{2021})dx\\&=\int_{0}^{1}x^{2021}(1-x)^{2021}(1-x(1-x)-x)dx\\&=\int_{0}^{1}x^{2021}(1-x)^{2021}(1-x)^{2}dx\\&=\int_{0}^{1}x^{2021}(1-x)^{2023}dx\end{aligned}$이제 $\displaystyle t=1-x$로 놓으면 $\displaystyle \frac{dt}{dx}=-1$이고, $\displaystyle x=0$일 때 $\displaystyle t=1$, $\displaystyle x=1$일 때 $\displaystyle t=0$이므로$\displaystyle \int_{0}^{1}x^{2021}(1-x)^{2023}dx=\int_{1}^{0}(1-t)^{2021}t^{2023}(-dt)=\int_{0}^{1}t^{2023}(1-t)^{2021}dt=D$이다. 따라서 $\displaystyle A-B-C=D$이다.문항 (2)의 $\displaystyle B=\frac{2022}{2023}D$에서 $\displaystyle D=\frac{2023}{2022}B$를 얻고, 문항 (1)의 $\displaystyle B+D=C$에 대입하면$\displaystyle C=B+\frac{2023}{2022}B=\frac{4045}{2022}B$를 얻는다. 이제 $\displaystyle A-B-C=D$로부터$\displaystyle A=B+C+D=B+\frac{4045}{2022}B+\frac{2023}{2022}B=\frac{2\cdot4045}{2022}B$이며, 정리하면 $\displaystyle B=\frac{1011}{4045}A$를 얻는다.