자연계열 3번

(1) 실수 $\displaystyle a\ne-2$에 대하여 점 $\displaystyle (a,0)$에서 직선 $\displaystyle y=x+2$에 내린 수선의 발을 $\displaystyle a$로 나타내시오.풀이: 직선 $\displaystyle y=x+2$의 기울기가 $\displaystyle 1$이므로 이 직선에 수직인 직선의 기울기는 $\displaystyle -1$이다. 기울기가 $\displaystyle -1$이고 점 $\displaystyle (a,0)$을 지나는 직선은 $\displaystyle y=-(x-a)=-x+a$이다. 두 직선의 교점이 구하는 수선의 발이므로 답은 $\displaystyle \left(\frac{a}{2}-1,\frac{a}{2}+1\right)$이다.

(2) $\displaystyle a<0$일 때 함수 $\displaystyle f(a)$를 구하시오.풀이: 실수 $\displaystyle a$에 대하여 좌표평면의 선분 $\displaystyle \{(t,t+2)\mid-1\le t\le1\}$과 원 $\displaystyle (x-a)^{2}+y^{2}=r^{2}$이 한 점에서 만나는 반지름 $\displaystyle r$이 최소가 되는 경우는 원 $\displaystyle (x-a)^{2}+y^{2}=r^{2}$이 주어진 선분에 접하거나 선분의 끝점 $\displaystyle (-1,1)$, $\displaystyle (1,3)$ 중 한 점만 만나는 때이다.문항 (1)에 의해 $\displaystyle (x-a)^{2}+y^{2}=r^{2}$이 선분에 접하는 때는 실수 $\displaystyle a$가 $\displaystyle -1\le\frac{a}{2}-1\le1$이므로 $\displaystyle 0\le a\le4$이다. 따라서 $\displaystyle a<0$일 때 조건을 만족하는 최솟값 $\displaystyle m$을 반지름으로 하는 원 $\displaystyle (x-a)^{2}+y^{2}=m^{2}$은 선분에 접하지 않는다. $\displaystyle a<0$일 때 원 $\displaystyle (x-a)^{2}+y^{2}=r^{2}$이 선분의 끝점 $\displaystyle (1,3)$을 지나면 원 $\displaystyle (x-a)^{2}+y^{2}=r^{2}$이 선분과 한 점에서 만나는 반지름 $\displaystyle r$ 중 최댓값이 되므로, $\displaystyle a<0$일 때 조건을 만족하는 원 $\displaystyle (x-a)^{2}+y^{2}=m^{2}$의 반지름 $\displaystyle m$은 선분의 끝점 $\displaystyle (-1,1)$과 $\displaystyle (a,0)$ 사이의 거리인 $\displaystyle \sqrt{(-1-a)^{2}+1^{2}}=\sqrt{a^{2}+2a+2}$이다.따라서 $\displaystyle a<0$일 때 $\displaystyle f(a)=a^{2}+2a+2$이다.

(3) $\displaystyle a\ge0$일 때 함수 $\displaystyle f(a)$를 구하시오.풀이: 실수 $\displaystyle a$에 대하여 좌표평면의 선분 $\displaystyle \{(t,t+2)\mid-1\le t\le1\}$과 원 $\displaystyle (x-a)^{2}+y^{2}=r^{2}$이 한 점에서 만나는 반지름 $\displaystyle r$이 최소가 되는 경우는 원 $\displaystyle (x-a)^{2}+y^{2}=r^{2}$이 주어진 선분에 접하거나 선분의 끝점 $\displaystyle (-1,1)$, $\displaystyle (1,3)$ 중 한 점만 만나는 때이다.문항 (2)의 풀이 과정을 참고하면 원 $\displaystyle (x-a)^{2}+y^{2}=r^{2}$이 선분에 접하는 때는 실수 $\displaystyle a$가 $\displaystyle 0\le a\le4$를 만족할 때이므로 $\displaystyle 0\le a\le4$와 $\displaystyle 4<a$로 구별하여 함숫값을 정한다.(ㄱ) $\displaystyle 0\le a\le4$일 때 구하는 반지름 $\displaystyle m$은 점 $\displaystyle (a,0)$과 직선 $\displaystyle y=x+2$ 사이의 거리인 $\displaystyle \frac{|0-a-2|}{\sqrt{1+1}}=\frac{|a+2|}{\sqrt{2}}$이고 주어진 함수는 $\displaystyle f(a)=\frac{(a+2)^{2}}{2}$이다.(ㄴ) $\displaystyle 4<a$일 때 구하는 반지름 $\displaystyle m$은 선분의 끝점 중 한 점을 만나는 경우에서 구해진다. 문항 (2)와 마찬가지로 $\displaystyle 4<a$일 때 원 $\displaystyle (x-a)^{2}+y^{2}=r^{2}$이 선분의 끝점 $\displaystyle (-1,1)$을 지나면 원 $\displaystyle (x-a)^{2}+y^{2}=r^{2}$이 선분과 한 점에서 만나는 반지름 $\displaystyle r$ 중 최댓값이 되므로, 조건을 만족하는 원 $\displaystyle (x-a)^{2}+y^{2}=m^{2}$의 반지름 $\displaystyle m$은 선분의 끝점 $\displaystyle (1,3)$과 $\displaystyle (a,0)$ 사이의 거리인 $\displaystyle \sqrt{(1-a)^{2}+3^{2}}=\sqrt{a^{2}-2a+10}$이다. 따라서 $\displaystyle 4<a$일 때 $\displaystyle f(a)=a^{2}-2a+10$이다.따라서 $\displaystyle a\ge0$일 때 함수 $\displaystyle f(a)$는$\displaystyle f(a)=\begin{cases}\dfrac{(a+2)^{2}}{2}&(0\le a\le4)\\a^{2}-2a+10&(4<a)\end{cases}$이다.