자연계열 1번

1-(1) $\displaystyle 0<x<\beta$에서 부등식 $\displaystyle f(x)>x$가 성립하고, $\displaystyle \beta<x<1$에서 부등식 $\displaystyle f(x)<x$가 성립하는 $\displaystyle \beta$를 구하시오.[풀이]함수 $\displaystyle g(x)$를 $\displaystyle g(x)=f(x)-x$라고 하자.

$\displaystyle g(x)=x^{3}-px^{2}+(p-1)x=x(x-1)(x-p+1)$이므로 $\displaystyle g(x)=0$의 근은 $\displaystyle x=0,1,p-1$이고 $\displaystyle 1<p<2$이므로 $\displaystyle 0<p-1<1$이다.

최고차 항의 계수가 양수이고 삼차방정식이 서로 다른 세 근을 갖는 삼차함수의 그래프의 성질에 의해 $\displaystyle 0<x<p-1$에서 $\displaystyle g(x)>0$이고, $\displaystyle p-1<x<1$에서 $\displaystyle g(x)<0$이다. 따라서 $\displaystyle 0<x<p-1$에서 $\displaystyle f(x)>x$이고 $\displaystyle p-1<x<1$에서 $\displaystyle f(x)<x$이다.따라서 구하는 $\displaystyle \beta$는 $\displaystyle p-1$이다.

1-(2) 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 부등식 $\displaystyle 0<a_{n}<1$이 성립함을 수학적 귀납법을 이용하여 보이시오.[풀이]$\displaystyle n=1$일 때, $\displaystyle 0<a_{1}<1$이다.

$\displaystyle n=k$일 때, $\displaystyle 0<a_{k}<1$을 가정하자. $\displaystyle a_{k+1}=f(a_{k})$이므로 $\displaystyle 0<f(a_{k})<1$을 보이면 $\displaystyle 0<a_{k+1}<1$이 성립한다.

$\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^{2}-2px+p$이다.

이차방정식 $\displaystyle 3x^{2}-2px+p=0$의 판별식을 이용하면 $\displaystyle D/4=p^{2}-3p=p(p-3)$이 $\displaystyle 1<p<2$에서 $\displaystyle D/4<0$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^{2}-2px+p>0$이다. 따라서 함수 $\displaystyle f(x)$가 구간 $\displaystyle (-\infty,\infty)$에서 증가한다.

$\displaystyle f(0)=0$, $\displaystyle f(1)=1$이므로 $\displaystyle 0<x<1$일 때, $\displaystyle 0<f(x)<1$이다. $\displaystyle 0<a_{k}<1$이므로 $\displaystyle 0<f(a_{k})=a_{k+1}<1$이다.

따라서 수학적 귀납법에 의해 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle 0<a_{n}<1$이 성립한다.

(ⅰ) $\displaystyle 0<a_{1}<\beta$인 경우$\displaystyle n=1$일 때, $\displaystyle 0<a_{1}<\beta$가 성립한다.

$\displaystyle n=k$일 때, $\displaystyle 0<a_{k}<\beta$를 가정하자. 문항 (2)의 풀이로부터 $\displaystyle f(x)$가 구간 $\displaystyle (-\infty,\infty)$에서 증가하므로 $\displaystyle f(0)<f(a_{k})<f(\beta)$이다. $\displaystyle f(0)=0$, $\displaystyle f(\beta)=\beta$이므로 $\displaystyle 0<a_{k+1}<\beta$이다.

따라서 수학적 귀납법에 의해 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle 0<a_{n}<\beta$이다.

(ⅱ) $\displaystyle \beta<a_{1}<1$인 경우$\displaystyle n=1$일 때, $\displaystyle \beta<a_{1}<1$이 성립한다.

$\displaystyle n=k$일 때, $\displaystyle \beta<a_{k}<1$을 가정하자. 문항 (2)의 풀이로부터 $\displaystyle f(x)$가 구간 $\displaystyle (-\infty,\infty)$에서 증가하므로 $\displaystyle f(\beta)<f(a_{k})<f(1)$이다. $\displaystyle f(\beta)=\beta$, $\displaystyle f(1)=1$이므로 $\displaystyle \beta<a_{k+1}<1$이다.

(ⅰ) $\displaystyle 0<a_{1}<\beta$인 경우문항 (3)의 결과로부터 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle 0<a_{n}<\beta$이다.

문항 (1)의 결과로부터 $\displaystyle 0<x<\beta$이면 $\displaystyle f(x)>x$이므로 $\displaystyle f(a_{n})>a_{n}$이다.

따라서 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle a_{n+1}=f(a_{n})>a_{n}$이 성립한다.

(ⅱ) $\displaystyle \beta<a_{1}<1$인 경우문항 (3)의 결과로부터 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle \beta<a_{n}<1$이다.

문항 (1)의 결과로부터 $\displaystyle \beta<x<1$이면 $\displaystyle f(x)<x$이므로 $\displaystyle f(a_{n})<a_{n}$이다.

따라서 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle a_{n+1}=f(a_{n})<a_{n}$이 성립한다.