자연계열 2번

2-(1) 좌표평면에서 타원 $\displaystyle x^{2}+3y^{2}=3$과 직선 $\displaystyle y=x+k$가 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 실수 $\displaystyle k$의 값의 범위를 구하시오.[풀이]식 $\displaystyle y=x+k$를 $\displaystyle x^{2}+3y^{2}=3$에 대입하면 $\displaystyle x^{2}+3(x+k)^{2}=3$이고,$\displaystyle 4x^{2}+6kx+3(k^{2}-1)=0$을 얻는다.

이 이차방정식이 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로 판별식 $\displaystyle D$가 양수여야 한다.

$\displaystyle D/4=9k^{2}-4\cdot3(k^{2}-1)=-3k^{2}+12=3(4-k^{2})>0$이므로 $\displaystyle 4-k^{2}>0$이다.따라서 구하는 답은 $\displaystyle -2<k<2$이다.

[풀이]문항 (1)의 풀이에서 직선 $\displaystyle y=x+k$가 타원 $\displaystyle x^{2}+3y^{2}=3$에 접할 때는 $\displaystyle D=0$일 때이다. 따라서 $\displaystyle k=\pm2$이고, 이때 이차방정식$\displaystyle 4x^{2}+6kx+3(k^{2}-1)=4x^{2}\pm12x+9=(2x\pm3)^{2}=0$의 근은 $\displaystyle x=\mp\frac{3}{2}$이다.이 중 양수인 경우는 $\displaystyle k=-2$일 때 $\displaystyle x=\frac{3}{2}$이며, 이때 $\displaystyle y=x+k=\frac{3}{2}-2=-\frac{1}{2}$이다.따라서 $\displaystyle \mathrm{P}$의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac{3}{2},-\frac{1}{2}\right)$이다.

$\displaystyle -2<k<2$일 때 두 점 $\displaystyle \mathrm{Q},\mathrm{R}$의 $\displaystyle x$좌표의 차는 이차방정식 $\displaystyle 4x^{2}+6kx+3(k^{2}-1)=0$의 두 근의 차와 같으며, 이는 근의 공식 혹은 근과 계수의 관계를 이용하면 $\displaystyle \frac{\sqrt{3(4-k^{2})}}{2}$임을 알 수 있다. 두 점 $\displaystyle \mathrm{Q},\mathrm{R}$를 지나는 직선의 기울기가 $\displaystyle 1$이므로, 선분 $\displaystyle \mathrm{QR}$의 길이는 $\displaystyle \sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{3(4-k^{2})}}{2}$이다.

점 $\displaystyle \mathrm{P}\left(\frac{3}{2},-\frac{1}{2}\right)$과 직선 $\displaystyle x-y+k=0$ 사이의 거리가$\displaystyle \frac{\left|\frac{3}{2}-\left(-\frac{1}{2}\right)+k\right|}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{|2+k|}{\sqrt{2}}$이므로 구하는 삼각형 $\displaystyle \mathrm{PQR}$의 넓이는$\displaystyle f(k)=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}\sqrt{3(4-k^{2})}}{2}\cdot\frac{|2+k|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3(4-k^{2})}(2+k)}{4}$이다. (단, $\displaystyle -2<k<2$)

2-(3) 문항 (1)에 해당하는 실수 $\displaystyle k$에 대하여 $\displaystyle \{f(k)\}^{2}$의 최댓값을 구하시오.[풀이]$\displaystyle -2<k<2$에서 함수 $\displaystyle g(k)$를 $\displaystyle g(k)=\{f(k)\}^{2}=\frac{3}{16}(4-k^{2})(2+k)^{2}$이라 하고, $\displaystyle k$에 대하여 미분하면$\displaystyle g^{\prime}(k)=\frac{3}{16}\{(-2k)(2+k)^{2}+(4-k^{2})2(2+k)\}=\frac{3}{4}(2+k)^{2}(1-k)$이다. $\displaystyle -2<k<1$에서 $\displaystyle g^{\prime}(k)>0$이므로 $\displaystyle g(k)$가 증가하고, $\displaystyle 1<k<2$에서 $\displaystyle g^{\prime}(k)<0$이므로 $\displaystyle g(k)$가 감소한다.

따라서 $\displaystyle g(k)=\{f(k)\}^{2}$은 $\displaystyle k=1$에서 최댓값 $\displaystyle \frac{3(4-1)(2+1)^{2}}{16}=\frac{81}{16}$을 갖는다.