자연계열 3번

3-(1) 점 $\displaystyle (4,5)$에서 직선 $\displaystyle y=\frac{4}{3}x+8$에 내린 수선의 발을 구하시오.[풀이]직선 $\displaystyle y=\frac{4}{3}x+8$에 수직인 직선의 기울기는 $\displaystyle -\frac{3}{4}$이므로 기울기가 $\displaystyle -\frac{3}{4}$이고 점 $\displaystyle (4,5)$를 지나는 직선의 방정식을 구하면 $\displaystyle y=-\frac{3}{4}(x-4)+5=-\frac{3}{4}x+8$이다.

이 직선과 주어진 직선 $\displaystyle y=\frac{4}{3}x+8$의 교점을 구하면 $\displaystyle (0,8)$이다.따라서 구하는 수선의 발은 $\displaystyle (0,8)$이다.

3-(2) $\displaystyle s\ge4$일 때, 함수 $\displaystyle f(s)$를 구하시오.[풀이]문항 (1)의 점 $\displaystyle (4,5)$에서 직선 $\displaystyle y=\frac{4}{3}x+8$에 내린 수선의 발은 $\displaystyle (0,8)$이고 이 점은 함수 $\displaystyle y=\frac{4}{3}|x|+8$의 그래프 위에 있다. 점 $\displaystyle (4,5)$는 점 $\displaystyle (0,8)$과의 거리가 $\displaystyle \sqrt{(0-4)^{2}+(8-5)^{2}}=5$이고 $\displaystyle x$축과의 거리가 $\displaystyle 5$이므로 원 $\displaystyle (x-4)^{2}+(y-5)^{2}=5^{2}$은 함수 $\displaystyle y=\frac{4}{3}|x|+8$의 그래프와 한 점 $\displaystyle (0,8)$에서 만나고 $\displaystyle x$축과 접한다. 따라서 $\displaystyle s=4$일 때 $\displaystyle f(4)=5$이다.

$\displaystyle s>4$일 때 $\displaystyle x$축에 접하는 원 $\displaystyle (x-s)^{2}+(y-r)^{2}=r^{2}$이 함수 $\displaystyle y=\frac{4}{3}|x|+8$의 그래프와 한 점에서 만나려면 원이 직선 $\displaystyle y=\frac{4}{3}x+8$에 접해야 한다. 좌표평면의 평행하지 않은 두 직선에 동시에 접하는 원의 중심은 두 직선의 각을 이등분하는 직선 위에 있으므로 두 직선 $\displaystyle y=\frac{4}{3}x+8$과 $\displaystyle y=0$의 각을 이등분하는 직선 중 제1사분면을 지나는 직선을 구한다.

문항 (1)의 점 $\displaystyle (4,5)$가 두 직선 $\displaystyle y=\frac{4}{3}x+8$, $\displaystyle y=0$과 같은 거리에 있으므로, 구하려는 직선은 두 직선 $\displaystyle y=\frac{4}{3}x+8$과 $\displaystyle y=0$의 교점 $\displaystyle (-6,0)$과 점 $\displaystyle (4,5)$를 지나는 직선이다. 따라서 구하는 직선은 $\displaystyle y=\frac{0-5}{-6-4}(x-4)+5=\frac{1}{2}x+3$이고, $\displaystyle f(s)$를 결정하는 원의 중심이 $\displaystyle (s,f(s))$이므로 $\displaystyle s>4$일 때 $\displaystyle f(s)=\frac{1}{2}s+3$이다.

$\displaystyle s=4$일 때 $\displaystyle \frac{1}{2}\cdot4+3=5$이므로 $\displaystyle s\ge4$일 때 구하는 함수는 $\displaystyle f(s)=\frac{1}{2}s+3$이다.

$\displaystyle -4<s<4$이면 원 $\displaystyle (x-s)^{2}+(y-r)^{2}=r^{2}$이 두 반직선과 접하지 못하므로 원이 점 $\displaystyle (0,8)$을 지난다. 따라서 조건을 만족하는 원의 중심 $\displaystyle (s,f(s))$와 점 $\displaystyle (0,8)$의 거리 $\displaystyle \sqrt{(s-0)^{2}+(f(s)-8)^{2}}$과, 원의 중심 $\displaystyle (s,f(s))$와 $\displaystyle x$축과의 거리 $\displaystyle |f(s)|$가 같다.

$\displaystyle (|f(s)|)^{2}=\left(\sqrt{s^{2}+(f(s)-8)^{2}}\right)^{2}=s^{2}+(f(s))^{2}-16f(s)+64$를 정리하면 $\displaystyle -4<s<4$에서 구하는 함수는 $\displaystyle f(s)=\frac{1}{16}s^{2}+4$이다.