자연계열 1번

1-(1) $\displaystyle S_{0}$을 구하시오.[풀이]구간 $\displaystyle [0,2]$에서 함수 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프는 구간 $\displaystyle [0,1]$에서는 $\displaystyle y=x$이고 구간 $\displaystyle [1,2]$에서는 $\displaystyle y=2-x$이다. 그러므로 직선 $\displaystyle y=ax$와 함수 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프의 교점은 각각 $\displaystyle y=ax$와 $\displaystyle y=x$의 교점 $\displaystyle (0,0)$과 $\displaystyle y=ax$와 $\displaystyle y=2-x$의 교점 $\displaystyle \left(\frac{2}{1+a},\frac{2a}{1+a}\right)$이다. 따라서 구간 $\displaystyle [0,2]$에서 직선 $\displaystyle y=ax$와 함수 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프로 둘러싸인 도형은 두 교점 $\displaystyle (0,0)$, $\displaystyle \left(\frac{2}{1+a},\frac{2a}{1+a}\right)$와 함수 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프 위의 점 $\displaystyle (1,1)$이 이루는 삼각형이다.

두 교점 사이의 거리는 $\displaystyle \frac{2\sqrt{1+a^{2}}}{1+a}$이고, 점 $\displaystyle (1,1)$로부터 직선 $\displaystyle y=ax$에 이르는 거리는$\displaystyle \frac{|1-a\cdot1|}{\sqrt{1+a^{2}}}=\frac{1-a}{\sqrt{1+a^{2}}}\ (0<a<1)$이므로

$\displaystyle S_{0}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2\sqrt{1+a^{2}}}{1+a}\cdot\frac{1-a}{\sqrt{1+a^{2}}}=\frac{1-a}{1+a}$이다.

1-(2) 닫힌구간 $\displaystyle [2n,2n+2]$에서 직선 $\displaystyle y=ax$와 함수 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프가 두 점에서 만나도록 하는 실수 $\displaystyle a$의 값의 범위를 구하고 $\displaystyle S_{n}$을 구하시오.[풀이]구간 $\displaystyle [2n,2n+2]$에서 함수 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프는 구간 $\displaystyle [2n,2n+1]$에서는 $\displaystyle y=x-2n$이고, 구간 $\displaystyle [2n+1,2n+2]$에서는 $\displaystyle y=2n+2-x$이다. 따라서 직선 $\displaystyle y=ax$와 함수 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프가 구간 $\displaystyle [2n,2n+2]$에서 두 점에서 만나려면 함수 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프 위의 점 $\displaystyle (2n+1,1)$이 직선 $\displaystyle y=ax$보다 위쪽에 있어야 한다. 즉$\displaystyle a(2n+1)<1$이다. 따라서 $\displaystyle a$의 값의 범위는$\displaystyle 0<a<\frac{1}{2n+1}$이다.

이때 직선 $\displaystyle y=ax$와 함수 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프의 두 교점은 각각 구간 $\displaystyle [2n,2n+1]$에서 $\displaystyle y=x-2n$과 $\displaystyle y=ax$의 교점, 그리고 구간 $\displaystyle [2n+1,2n+2]$에서 $\displaystyle y=2n+2-x$와 $\displaystyle y=ax$의 교점이다. 따라서$\displaystyle ax=x-2n\ (2n\le x<2n+1),\quad ax=2n+2-x\ (2n+1\le x\le2n+2)$를 만족시킨다. 따라서 두 교점은$\displaystyle \left(\frac{2n}{1-a},\frac{2na}{1-a}\right),\quad\left(\frac{2(n+1)}{1+a},\frac{2(n+1)a}{1+a}\right)$이다.

두 교점 사이의 거리는$\displaystyle \sqrt{\left(\frac{2(n+1)}{1+a}-\frac{2n}{1-a}\right)^{2}+\left(\frac{2(n+1)a}{1+a}-\frac{2na}{1-a}\right)^{2}}=\frac{2\sqrt{1+a^{2}}(1-a-2na)}{1-a^{2}}$이다.

함수 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프 위의 점 $\displaystyle (2n+1,1)$로부터 직선 $\displaystyle y=ax$에 이르는 거리가$\displaystyle \frac{|1-a(2n+1)|}{\sqrt{1+a^{2}}}=\frac{1-(2n+1)a}{\sqrt{1+a^{2}}}\ \left(0<a<\frac{1}{2n+1}\right)$이므로

$\displaystyle S_{n}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2\sqrt{1+a^{2}}(1-a-2na)}{1-a^{2}}\cdot\frac{1-(2n+1)a}{\sqrt{1+a^{2}}}=\frac{(1-a-2na)^{2}}{1-a^{2}}$이다.

1-(3) 실수 $\displaystyle a$에 대하여 직선 $\displaystyle y=ax$와 함수 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프가 닫힌구간 $\displaystyle [2n,2n+2]$에서 두 점에서 만나고 닫힌구간 $\displaystyle [2n+2,2n+4]$에서는 한 점에서 만나거나 만나지 않는 자연수 $\displaystyle n$의 값의 범위를 $\displaystyle a$로 나타내고 극한값 $\displaystyle \lim_{a\to0^{+}}na$를 구하시오.[풀이]문항 (2)의 결과로부터 $\displaystyle 0<a<\frac{1}{2n+1}$일 때, 구간 $\displaystyle [2n,2n+2]$에서 직선 $\displaystyle y=ax$와 함수 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프가 두 점에서 만나므로 자연수 $\displaystyle n$은$\displaystyle n<\frac{1-a}{2a}$를 만족한다.

한편 구간 $\displaystyle [2n+2,2n+4]$에서 직선 $\displaystyle y=ax$와 함수 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프가 한 점에서 만나거나 만나지 않으려면 함수 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프 위의 점 $\displaystyle (2n+3,1)$이 직선 $\displaystyle y=ax$ 위의 점이거나 직선보다 아래쪽에 있다. 즉$\displaystyle a(2n+3)\ge1$이다. 따라서 자연수 $\displaystyle n$은$\displaystyle n\ge\frac{1-3a}{2a}$를 만족한다.위 결과로부터 직선 $\displaystyle y=ax$와 함수 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프가 구간 $\displaystyle [2n,2n+2]$에서 두 점에서 만나고 구간 $\displaystyle [2n+2,2n+4]$에서는 한 점에서 만나거나 만나지 않는 자연수 $\displaystyle n$의 값의 범위는$\displaystyle \frac{1-3a}{2a}\le n<\frac{1-a}{2a}$이다.

자연수 $\displaystyle n$의 값의 범위가 $\displaystyle \frac{1-3a}{2a}\le n<\frac{1-a}{2a}$이므로 $\displaystyle 1-3a\le2na<1-a$이다. 따라서 $\displaystyle \lim_{a\to0^{+}}na=\frac{1}{2}$이다.

1-(4) 문항 (3)에서 구한 자연수 $\displaystyle n$의 값의 범위에 대하여 극한값 $\displaystyle \lim_{a\to0^{+}}\frac{1}{n}(S_{0}+S_{1}+\cdots+S_{n})$을 구하시오.[풀이]문항 (3)의 결과로부터 자연수 $\displaystyle n$의 값의 범위가 $\displaystyle \frac{1-3a}{2a}\le n<\frac{1-a}{2a}$일 때 구간 $\displaystyle [2n,2n+2]$에서 직선 $\displaystyle y=ax$와 함수 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프가 두 점에서 만난다. 이때 모든 $\displaystyle k=0,1,2,\cdots,n$에 대하여$\displaystyle S_{k}=\frac{(1-a-2ka)^{2}}{1-a^{2}}=\frac{1}{1-a^{2}}(4a^{2}k^{2}-4a(1-a)k+(1-a)^{2})$이다.

따라서$\displaystyle \begin{aligned}\frac{1}{n}(S_{0}+S_{1}+\cdots+S_{n})&=\frac{1}{(1-a^{2})n}\sum_{k=0}^{n}(4a^{2}k^{2}-4a(1-a)k+(1-a)^{2})\\&=\frac{1}{(1-a^{2})n}\left(\frac{4a^{2}n(n+1)(2n+1)}{6}-\frac{4a(1-a)n(n+1)}{2}+(1-a)^{2}(n+1)\right)\\&=\frac{n+1}{(1-a^{2})n}\left(\frac{2a^{2}n(2n+1)}{3}-2a(1-a)n+(1-a)^{2}\right)\\&=\frac{n+1}{(1-a^{2})n}\left(\frac{4a^{2}n^{2}}{3}+\frac{2(4a-3)an}{3}+(1-a)^{2}\right)\end{aligned}$이다.

한편 $\displaystyle \frac{1-3a}{2a}\le n<\frac{1-a}{2a}$이므로 $\displaystyle \frac{2a}{1-a}<\frac{1}{n}\le\frac{2a}{1-3a}$를 얻는다. 따라서 $\displaystyle \lim_{a\to0^{+}}\frac{1}{n}=0$이다.

또한 문항 (3)의 결과로부터 $\displaystyle \lim_{a\to0^{+}}na=\frac{1}{2}$이므로 구하는 극한값은$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{a\to0^{+}}\frac{1}{n}(S_{0}+S_{1}+\cdots+S_{n})&=\lim_{a\to0^{+}}\frac{n+1}{(1-a^{2})n}\left(\frac{4a^{2}n^{2}}{3}+\frac{2(4a-3)an}{3}+(1-a)^{2}\right)\\&=\lim_{a\to0^{+}}\frac{1}{1-a^{2}}\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(\frac{4}{3}(na)^{2}+\frac{2(4a-3)}{3}(na)+(1-a)^{2}\right)\\&=\frac{1}{3}\end{aligned}$이다.