자연계열 2번

직선 $\displaystyle y=x+b$와 $\displaystyle y=-x(x-2)$가 접하면 $\displaystyle -x^{2}+2x=x+b$가 중근을 가지므로 판별식 $\displaystyle D=1-4b=0$이다.즉, $\displaystyle b=\frac{1}{4}$일 때 직선과 함수의 그래프가 세 점에서 만난다.따라서 구하는 값은 $\displaystyle b=0,\frac{1}{4}$이다.

2-(2) $\displaystyle m\ge0,b>0$일 때 위 조건을 만족하는 $\displaystyle m$의 값의 범위를 구하고 $\displaystyle b$를 $\displaystyle m$으로 나타내시오.[풀이]$\displaystyle m\ge0,b>0$일 때 직선 $\displaystyle y=mx+b$는 점 $\displaystyle (0,0)$, $\displaystyle (2,0)$을 지날 수 없다.

따라서 직선이 함수 $\displaystyle y=|x(x-2)|$의 그래프와 세 점에서 만나는 경우는 직선이 $\displaystyle 0<x<2$에서 $\displaystyle y=-x(x-2)$의 그래프에 접할 때이다.

따라서 이차방정식 $\displaystyle -x^{2}+2x=mx+b$가 중근을 갖고, 중근이 $\displaystyle 0<x<2$에 있다. 판별식 $\displaystyle D=(m-2)^{2}-4b=0$이므로 $\displaystyle b=\frac{1}{4}(m-2)^{2}$이고,

중근 $\displaystyle 1-\frac{m}{2}$은 $\displaystyle 0<1-\frac{m}{2}<2$를 만족시키므로 $\displaystyle 0\le m<2$이다.그러므로 $\displaystyle 0\le m<2$일 때 $\displaystyle b=\frac{1}{4}(m-2)^{2}$이다.

2-(3) $\displaystyle m\ge0,b>0$일 때 직선 $\displaystyle y=mx+b$와 함수 $\displaystyle y=|x(x-2)|$의 그래프의 세 교점을 $\displaystyle x$좌표의 크기순으로 $\displaystyle \mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}$라 하자. 교점 $\displaystyle \mathrm{A}$와 $\displaystyle \mathrm{B}$사이에서 직선과 함수의 그래프로 둘러싸인 부분의 넓이와 교점 $\displaystyle \mathrm{B}$와 $\displaystyle \mathrm{C}$사이에서 직선과 함수의 그래프로 둘러싸인 부분의 넓이가 서로 같아지는 실수 $\displaystyle b$의 값을 모두 구하시오.[풀이]문항 (2)의 결과로부터 직선 $\displaystyle y=mx+b$와 함수 $\displaystyle y=|x(x-2)|$의 그래프가 세 점에서 만날 때는 직선과 함수의 그래프가 접할 때이고, $\displaystyle b=\frac{1}{4}(m-2)^{2}$ ($\displaystyle 0\le m<2$)이므로 $\displaystyle 0<b\le1$이다.

(ⅰ) $\displaystyle b=1$일 때, 직선 $\displaystyle y=1$이 $\displaystyle y=-x(x-2)$의 그래프에 접하고 직선과 함수 $\displaystyle y=|x(x-2)|$의 그래프로 둘러싸인 두 도형은 $\displaystyle y=-x(x-2)$의 대칭축 $\displaystyle x=1$에 대하여 대칭이다. 따라서 직선 $\displaystyle y=1$과 함수 $\displaystyle y=|x(x-2)|$의 그래프로 둘러싸인 두 도형의 넓이가 같다.이때 직선 $\displaystyle y=1$과 $\displaystyle y=x(x-2)$의 교점은 $\displaystyle (1-\sqrt{2},1)$, $\displaystyle (1+\sqrt{2},1)$이다.

(ⅱ) $\displaystyle 0<b<1$일 때, 직선 $\displaystyle y=mx+b$와 $\displaystyle y=x(x-2)$가 $\displaystyle x=\alpha,\beta$ ($\displaystyle \alpha<\beta$)에서 만나고 $\displaystyle m>0$이므로 $\displaystyle 1-\sqrt{2}<\alpha<0$, $\displaystyle 1+\sqrt{2}<\beta$이다. 직선 $\displaystyle y=mx+b$와 함수 $\displaystyle y=-x(x-2)$의 그래프가 $\displaystyle x=p$에서 접하고 $\displaystyle m>0$이므로 $\displaystyle 0<p<1$이다. 따라서 $\displaystyle 1-\sqrt{2}<\alpha<p<1$이고 $\displaystyle p<1<1+\sqrt{2}$이다.$\displaystyle 1-\sqrt{2}<\alpha<p<1$이므로 $\displaystyle \alpha\le x\le p$에서 직선 $\displaystyle y=mx+b$와 함수 $\displaystyle y=|x(x-2)|$의 그래프로 둘러싸인 도형은 $\displaystyle 1-\sqrt{2}\le x\le1$에서 직선 $\displaystyle y=1$과 함수 $\displaystyle y=|x(x-2)|$의 그래프로 둘러싸인 도형에 포함되고 같지 않다. 따라서 $\displaystyle 1-\sqrt{2}\le x\le1$에서 직선 $\displaystyle y=1$과 함수 $\displaystyle y=|x(x-2)|$의 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이를 $\displaystyle S_{0}$이라고 하면 $\displaystyle \alpha\le x\le p$에서 둘러싸인 도형의 넓이 $\displaystyle S_{1}$은 $\displaystyle S_{0}$보다 작고 같지 않다.$\displaystyle p<1<1+\sqrt{2}<\beta$이므로 $\displaystyle p\le x\le\beta$에서 직선 $\displaystyle y=mx+b$와 함수 $\displaystyle y=|x(x-2)|$의 그래프로 둘러싸인 도형은 $\displaystyle 1\le x\le1+\sqrt{2}$에서 직선 $\displaystyle y=1$과 함수 $\displaystyle y=|x(x-2)|$의 그래프로 둘러싸인 도형을 포함하고 같지 않다. 따라서 $\displaystyle 1\le x\le1+\sqrt{2}$에서 직선 $\displaystyle y=1$과 함수 $\displaystyle y=|x(x-2)|$의 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이를 $\displaystyle S_{0}^{\prime}$이라고 하면, $\displaystyle p\le x\le\beta$에서 둘러싸인 도형의 넓이 $\displaystyle S_{2}$는 $\displaystyle S_{0}^{\prime}$보다 크고 같지 않다.

(ⅰ)의 결과로부터 $\displaystyle S_{1}<S_{0}=S_{0}^{\prime}<S_{2}$이다.