자연계열 3번

3-(1) $\displaystyle S_{0}$을 $\displaystyle a_{0}\alpha+b_{0}\beta$로 나타낼 때 자연수 $\displaystyle a_{0}$, $\displaystyle b_{0}$을 구하시오.[풀이]문제에서 제시된 넓이 $\displaystyle \beta$인 도형은 [그림1]과 같이 반지름의 길이가 $\displaystyle 1$이고 중심각의 크기가 $\displaystyle \frac{\pi}{3}$인 부채꼴에서 한 변의 길이가 $\displaystyle 1$인 정삼각형을 뺀 것이다.

그림 $\displaystyle P_{0}$은 중심이 $\displaystyle (0,0)$이고 반지름의 길이가 $\displaystyle 1$인 원을 나타내므로

그림 $\displaystyle P_{0}$에 색칠한 부분은 [그림2]와 같이 한 변의 길이가 $\displaystyle 1$인 정삼각형 $\displaystyle 6$개와 제시된 넓이 $\displaystyle \beta$인 도형 $\displaystyle 6$개로 분할된다.

따라서 그림 $\displaystyle P_{0}$의 넓이 $\displaystyle S_{0}$은 $\displaystyle 6\alpha+6\beta$이므로 구하는 자연수는 $\displaystyle a_{0}=6$, $\displaystyle b_{0}=6$이다.

3-(2) $\displaystyle S_{1}$을 $\displaystyle a_{1}\alpha+b_{1}\beta$로 나타낼 때 자연수 $\displaystyle a_{1}$, $\displaystyle b_{1}$을 구하시오.[풀이]그림 $\displaystyle P_{1}$은 [그림3]과 같이, 그림 $\displaystyle P_{0}$에 [그림4]와 같이 나타나는 도형 두 개를 더한 것이다.

[그림4]의 도형은 [그림5]와 같이 분할되고, [그림6]처럼 넓이 $\displaystyle \beta$인 도형을 이동하면 [그림4]의 도형의 넓이는 [그림6]의 도형의 넓이와 같다. 따라서 [그림4]의 도형의 넓이는 한 변의 길이가 $\displaystyle 1$인 정삼각형 $\displaystyle 4$개의 넓이와 제시된 넓이 $\displaystyle \beta$인 도형 $\displaystyle 2$개의 넓이의 합이다. 그러므로 [그림4]의 도형의 넓이를 $\displaystyle 4\alpha+2\beta$로 나타낼 수 있다.

문항 (1)의 결과에 따라 $\displaystyle S_{0}$이 $\displaystyle 6\alpha+6\beta$이므로 그림 $\displaystyle P_{1}$의 색칠한 부분의 넓이 $\displaystyle S_{1}$은 $\displaystyle (6\alpha+6\beta)+2(4\alpha+2\beta)=14\alpha+10\beta$이다. 따라서 구하는 자연수는 $\displaystyle a_{1}=14$, $\displaystyle b_{1}=10$이다.

3-(3) $\displaystyle S_{2023}$을 $\displaystyle a_{2023}\alpha+b_{2023}\beta$로 나타낼 때 자연수 $\displaystyle a_{2023}$, $\displaystyle b_{2023}$을 구하시오.[풀이]자연수 $\displaystyle n$에 대하여 그림 $\displaystyle P_{n}$은 그림 $\displaystyle P_{n-1}$에 문항 (2)의 [그림4]와 같이 나타나는 도형 두 개를 더한 것이다. 그러므로 그림 $\displaystyle P_{n}$의 넓이 $\displaystyle S_{n}$과 그림 $\displaystyle P_{n-1}$의 넓이 $\displaystyle S_{n-1}$의 차는 문항 (2)의 결과에 따라 $\displaystyle 8\alpha+4\beta$이다.

따라서 $\displaystyle a_{n}$이 첫째항 $\displaystyle a_{1}=14$이고 공차가 $\displaystyle 8$인 등차수열이므로$\displaystyle a_{n}=14+8(n-1)=8n+6$이다.

마찬가지로 $\displaystyle b_{n}$이 첫째항 $\displaystyle b_{1}=10$이고 공차가 $\displaystyle 4$인 등차수열이므로$\displaystyle b_{n}=10+4(n-1)=4n+6$이다.

$\displaystyle n=2023$을 대입하면 구하는 자연수는 $\displaystyle a_{2023}=16190$, $\displaystyle b_{2023}=8098$이다.