자연계열 1번

1-1.$\displaystyle g_5(f_5(x))=x\Rightarrow g_5^{\prime}(f_5(x))f_5^{\prime}(x)=1\Rightarrow g_5^{\prime}(f_5(x))=\frac1{f_5^{\prime}(x)}=\frac1{f_4(x)}$따라서 $\displaystyle g_5^{\prime}(f_5(0))=g_5^{\prime}(1)=\frac1{f_5^{\prime}(0)}=1$

$\displaystyle g_5^{\prime}(f_5(x))=\frac1{f_5^{\prime}(x)}\Rightarrow g_5^{\prime\prime}(f_5(x))f_5^{\prime}(x)=-\frac{f_5^{\prime\prime}(x)}{[f_5^{\prime}(x)]^2}=-\frac{f_3(x)}{[f_4(x)]^2}$ 이므로$\displaystyle g_n^{\prime\prime}(f_n(x))=-\frac1{f_5^{\prime}(x)}\cdot\frac{f_3(x)}{[f_4(x)]^2}=-\frac{f_3(x)}{f_4(x)[f_4(x)]^2}$Correction. 이 풀이의 $\displaystyle g_n$, $\displaystyle f_n$은 각각 $\displaystyle g_5$, $\displaystyle f_5$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle g_5^{\prime\prime}(f_n(0))=g_5^{\prime\prime}(1)=-1$

1-2.$\displaystyle \begin{aligned}f_3(0)&=1+0+\frac{0^2}{2!}+\frac{0^3}{3!}=1\\f_3(1)&=1+1+\frac1{2!}+\frac1{3!}=\frac83\end{aligned}$서로 역함수 관계에 있는 두 함수의 그래프는 직선 $\displaystyle y=x$에 대칭이므로,정적분 $\displaystyle \int_1^{\frac83}g_3(x)dx$의 값을 구하는 것은 그림과 같이 구할 수 있다.

즉, $\displaystyle \int_1^{\frac83}g_3(x)dx=\frac83-\int_0^1f_3(x)dx$이다.$\displaystyle \int_0^1f(x)dx=\int_0^1\left(1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}\right)dx=\frac{41}{24}$ 이므로,$\displaystyle \int_1^{\frac83}g_3(x)dx=\frac83-\int_0^1f_3(x)dx=\frac83-\frac{41}{24}=\frac{23}{24}$

1-3.$\displaystyle f_n(x)=f_{n-1}(x)+\frac{x^n}{n!}$, $\displaystyle f_n^{\prime}(x)=f_{n-1}(x)$, $\displaystyle f_1(x)=1+x$는 실근 1개를 가진다.$\displaystyle f_2(x)=1+x+\frac{x^2}{2!}\Rightarrow f_2^{\prime}(x)=1+x=f_1(x)$ 이므로 $\displaystyle f_2(x)$는 $\displaystyle x=-1$에서 최솟값 $\displaystyle f_2(-1)=\frac12>0$을 가진다.따라서 $\displaystyle f_2(x)\ge f_2(-1)=\frac12>0$ 이므로 $\displaystyle f_2(x)$는 실근을 갖지 않는다.

$\displaystyle f_3(x)=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}\Rightarrow f_3^{\prime}(x)=f_2(x)>0$ 이므로 $\displaystyle f_3(x)$는 증가한다.$\displaystyle f_3(0)=1>0$이고 $\displaystyle f_3(-3)=f_2(-3)+\frac{(-3)^3}{3!}=\frac52-\frac{3\cdot3\cdot3}{6}=\frac52-\frac92=-2<0$ 이므로 사잇값 정리에 의하여 $\displaystyle f_3(x)$는 단 하나의 실근을 가진다.$\displaystyle f_4(x)=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}\Rightarrow f_4^{\prime}(x)=f_3(x)$ $\displaystyle f_3(x)$는 단 하나의 실근을 가진다.$\displaystyle f_3(a)=0$이라하자. 그러면, $\displaystyle f_4(x)$는 $\displaystyle x=a$에서 최솟값 $\displaystyle f_4(a)$를 가진다.$\displaystyle f_4(x)\ge f_4(a)=f_3(a)+\frac{a^4}{4!}=\frac{a^4}{4!}>0$따라서 $\displaystyle f_4(x)$ 실근을 갖지 않는다.

$\displaystyle f_5(x)=f_4(x)+\frac{x^5}{5!}$이고 $\displaystyle f_5^{\prime}(x)=f_4(x)>0$ 이므로 $\displaystyle f_5(x)$는 증가한다.$\displaystyle f_5(0)=1>0$이고 $\displaystyle f_5(-5)=f_4(-5)-\frac{5^5}{5!}<0$ 이므로 사잇값 정리에 의하여 $\displaystyle f_5(x)$는 단 하나의 실근을 가진다.$\displaystyle f_6^{\prime}(x)=f_5(x)$는 단 하나의 실근 $\displaystyle a$를 갖는다고 하면$\displaystyle f_6(x)\ge f_6(a)=f_5(a)+\frac{a^6}{6!}=\frac{a^6}{6!}>0$이므로 실근을 갖지 않는다.