자연계열 1번

1-1.직선 $\displaystyle \mathrm{A}_1\mathrm{D}_1$는 $\displaystyle \mathrm{A}_1(-r,0)$와 $\displaystyle \mathrm{D}_1(r\cos\theta,r\sin\theta)$를 지나는 직선의 식 :$\displaystyle y=\frac{\sin\theta}{(\cos\theta+1)}(x+r)$직선 $\displaystyle \mathrm{A}_2\mathrm{D}_2$는 $\displaystyle \mathrm{A}_2(r,0)$와 $\displaystyle \mathrm{D}_2(r\cos\theta,-r\sin\theta)$를 지나는 직선의 식 :$\displaystyle y=\frac{-\sin\theta}{(\cos\theta-1)}(x-r)$두 직선의 교점은 $\displaystyle \frac{\sin\theta}{(\cos\theta+1)}(x+r)=\frac{-\sin\theta}{(\cos\theta-1)}(x-r)$ 이므로점 $\displaystyle P(x,y)$를 각각 나타내면,$\displaystyle x=r\sec\theta$$\displaystyle y=r\tan\theta$

1-2.$\displaystyle c=\sqrt2r$이고, $\displaystyle F_1(-\sqrt2r,0)$, $\displaystyle P(r\sec\theta,r\tan\theta)$ 이므로,$\displaystyle \angle\mathrm{PF}_1\mathrm{M}=t_1$, $\displaystyle \angle\mathrm{PMF}_2=t_2$라 할 때,직선 $\displaystyle \mathrm{PF}_1$의 기울기 $\displaystyle \tan t_1=\frac{\tan\theta}{\sec\theta+\sqrt2}=\frac{\sin\theta}{1+\sqrt2\cos\theta}$ 이다.

직선 $\displaystyle PM$의 기울기는 접선의 기울기 이므로$\displaystyle \tan t_2=\frac{dy}{dx}=\frac{dy/d\theta}{dx/d\theta}=\frac{r\sec^2\theta}{r\sec\theta\tan\theta}=\frac{\sec\theta}{\tan\theta}=\frac1{\sin\theta}=\csc\theta$

1-3.$\displaystyle \begin{aligned}\tan\alpha=\tan(t_1-t_2)&=\frac{\tan t_1-\tan t_2}{1+\tan t_1\tan t_2}=\frac{\frac1{\sin\theta}-\frac{\sin\theta}{1+\sqrt2\cos\theta}}{1+\frac1{\sin\theta}\times\frac{\sin\theta}{1+\sqrt2\cos\theta}}\\&=\frac1{\sqrt2\tan\theta}\end{aligned}$Correction. 그림의 예각은 $\displaystyle \alpha=t_2-t_1$이므로 탄젠트의 분자는 $\displaystyle \tan t_2-\tan t_1$이어야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.