한양대 에리카캠퍼스 2018학년도 수시 오전 자연계열 3번 해설

[문제 3] 다음 제시문 <가>~<다>를 읽고 물음에 답하시오.

<가> 평행하는 두 직선 $\displaystyle l$ 과 $\displaystyle m$ 에 대하여 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$ 는 직선 $\displaystyle m$ 위에 있고, 두 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ , $\displaystyle \mathrm{Q}$ 는 직선 $\displaystyle l$ 위에 있다. 이때, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABP}$ 의 면적과 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABQ}$ 의 면적이 같다.

<나>

점 $\displaystyle \mathrm{O}$ , $\displaystyle \mathrm{A}$ , $\displaystyle \mathrm{B}$ 의 좌표는 각각 $\displaystyle \mathrm{O}(0,0)$ , $\displaystyle \mathrm{A}(2,0)$ , $\displaystyle \mathrm{B}(1,\sqrt3)$ 이고, 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 는 정삼각형 $\displaystyle \mathrm{OAB}$ 의 내부에 있다.

<다>

점 $\displaystyle \mathrm{O}$ , $\displaystyle \mathrm{A}$ , $\displaystyle \mathrm{B}$ , $\displaystyle \mathrm{C}$ 의 좌표는 각각 $\displaystyle \mathrm{O}(0,0,0)$ , $\displaystyle \mathrm{A}(2,0,0)$ , $\displaystyle \mathrm{B}(1,\sqrt3,0)$ , $\displaystyle \mathrm{C}\left(1,\frac{\sqrt3}{3},\frac{2\sqrt6}{3}\right)$ 이고, 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 는 정사면체 $\displaystyle \mathrm{OABC}$ 의 내부에 있다.

3-1. 제시문 <나>의 그림에서 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OAP}$ 의 면적, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABP}$ 의 면적, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OPB}$ 의 면적이 각각 $\displaystyle \frac{\sqrt3}{4}$ , $\displaystyle \frac{\sqrt3}{3}$ , $\displaystyle \frac{5\sqrt3}{12}$ 이 되는 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 의 좌표를 구하여라. [15점]

3-2. 제시문 <다>의 그림에서 사면체 $\displaystyle \mathrm{ABCP}$ 의 부피, 사면체 $\displaystyle \mathrm{OABP}$ 의 부피, 사면체 $\displaystyle \mathrm{OACP}$ 의 부피, 사면체 $\displaystyle \mathrm{OBCP}$ 의 부피가 각각 $\displaystyle \frac{\sqrt2}{3}$ , $\displaystyle \frac{\sqrt2}{9}$ , $\displaystyle \frac{\sqrt2}{9}$ , $\displaystyle \frac{\sqrt2}{9}$ 가 되는 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 의 좌표를 구하여라. [15점]

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3-1.삼각형 $\displaystyle \mathrm{OAP}$ 의 면적 $\displaystyle \triangle\mathrm{OAP}$ 가 $\displaystyle \frac{\sqrt3}{4}$ 이므로 $\displaystyle \mathrm{P}$ 는 직선 $\displaystyle y=\frac{\sqrt3}{4}$ 위에 있어야 한다. $\displaystyle \therefore y=\frac{\sqrt3}{4}$ $\displaystyle \triangle\mathrm{OPB}=\frac{5\sqrt3}{12}$ 이고, 원점에서 직선 $\displaystyle y=\sqrt3x+k$ 까지의 거리는 $\displaystyle \frac{5\sqrt3}{12}$ 이므로, $\displaystyle k=-\frac{5\sqrt3}{12}$ 이다.Correction. 원점에서 직선 $\displaystyle y=\sqrt3x+k$ 까지의 거리는 $\displaystyle \frac{|k|}2$ 이므로 $\displaystyle k=-\frac{5\sqrt3}6$ 이어야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.따라서, 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 는 직선 $\displaystyle y=\sqrt3x-\frac{5\sqrt3}{6}$ 위에 있다. $\displaystyle \therefore\sqrt3x=\frac{\sqrt3}{4}+\frac{5\sqrt3}{6}$ $\displaystyle \therefore x=\frac{13}{12}$ $\displaystyle \mathrm{P}$ 의 좌표 $\displaystyle \left(\frac{13}{12},\frac{\sqrt3}{4}\right)$

3-2.사면체 $\displaystyle \mathrm{OABP}$ 의 부피 = 사면체 $\displaystyle \mathrm{OACP}$ 의 부피 = 사면체 $\displaystyle \mathrm{OBCP}$ 의 부피 = $\displaystyle \frac{\sqrt2}{9}$ 이므로 $\displaystyle \mathrm{OP}$ 를 연장한 직선은 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$ 의 무게중심을 지난다.삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$ 의 무게중심을 $\displaystyle \mathrm{Q}$ 라고 할 때 $\displaystyle \mathrm{Q}$ 의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac43,\frac{4\sqrt3}{9},\frac{2\sqrt6}{9}\right)$ $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{\text{위 세 개의 사면체 부피의 합}}{\text{전체 부피}}\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\frac12\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\left(\frac23,\frac{2\sqrt3}{9},\frac{\sqrt6}{9}\right)$

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자연계열 3번

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