자연계열 3번

3-1.삼각형 $\displaystyle \mathrm{OAP}$의 면적 $\displaystyle \triangle\mathrm{OAP}$가 $\displaystyle \frac{\sqrt3}{4}$이므로 $\displaystyle \mathrm{P}$는 직선 $\displaystyle y=\frac{\sqrt3}{4}$ 위에 있어야 한다.$\displaystyle \therefore y=\frac{\sqrt3}{4}$$\displaystyle \triangle\mathrm{OPB}=\frac{5\sqrt3}{12}$이고, 원점에서 직선 $\displaystyle y=\sqrt3x+k$까지의 거리는 $\displaystyle \frac{5\sqrt3}{12}$이므로,$\displaystyle k=-\frac{5\sqrt3}{12}$이다.Correction. 원점에서 직선 $\displaystyle y=\sqrt3x+k$까지의 거리는 $\displaystyle \frac{|k|}2$이므로 $\displaystyle k=-\frac{5\sqrt3}6$이어야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.따라서, 점 $\displaystyle \mathrm{P}$는 직선 $\displaystyle y=\sqrt3x-\frac{5\sqrt3}{6}$ 위에 있다.$\displaystyle \therefore\sqrt3x=\frac{\sqrt3}{4}+\frac{5\sqrt3}{6}$$\displaystyle \therefore x=\frac{13}{12}$$\displaystyle \mathrm{P}$의 좌표 $\displaystyle \left(\frac{13}{12},\frac{\sqrt3}{4}\right)$

3-2.사면체 $\displaystyle \mathrm{OABP}$의 부피 = 사면체 $\displaystyle \mathrm{OACP}$의 부피 = 사면체 $\displaystyle \mathrm{OBCP}$의 부피 = $\displaystyle \frac{\sqrt2}{9}$이므로$\displaystyle \mathrm{OP}$를 연장한 직선은 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$의 무게중심을 지난다.삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$의 무게중심을 $\displaystyle \mathrm{Q}$라고 할 때 $\displaystyle \mathrm{Q}$의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac43,\frac{4\sqrt3}{9},\frac{2\sqrt6}{9}\right)$$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{\text{위 세 개의 사면체 부피의 합}}{\text{전체 부피}}\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\frac12\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\left(\frac23,\frac{2\sqrt3}{9},\frac{\sqrt6}{9}\right)$