수리논술, 이게 다다.

자연계열 2번

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한양대 에리카캠퍼스 2018학년도 수시 오전 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/hanyang-erica/2018su_am/jayeon_2

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[문제 2] 다음 제시문 <가>~<다>를 읽고 물음에 답하시오.

<가> 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 닫힌구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속이고 a<c<b\displaystyle a<c<b일 때,∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx\displaystyle \int_a^bf(x)dx=\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx

<나> 두 함수 f(x)\displaystyle f(x), g(x)\displaystyle g(x)가 닫힌구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 미분가능하고, f′(x)\displaystyle f^{\prime}(x), g′(x)\displaystyle g^{\prime}(x)가 연속일 때,∫abf(x)g′(x)dx=[f(x)g(x)]ab−∫abf′(x)g(x)dx\displaystyle \int_a^bf(x)g^{\prime}(x)dx=\Biggl[f(x)g(x)\Biggr]_a^b-\int_a^bf^{\prime}(x)g(x)dx

<다> 아래 그림은 닫힌구간 [0,10]\displaystyle [0,10]에서 정의된 함수 f(x)\displaystyle f(x)의 그래프를 나타낸 것이다.

구간별로 증가, 일정, 감소하는 함수의 그래프

2-1. 제시문 <다>의 함수 f(x)\displaystyle f(x)에 대하여 다음 정적분의 값을 구하여라. [15점]∫010f(x+1−1)dx\displaystyle \int_0^{10}f(\sqrt{x+1}-1)dx

2-2. 제시문 <다>의 함수 f(x)\displaystyle f(x)에 대하여 다음 정적분의 값을 구하여라. [15점]∫020exf(x2)dx\displaystyle \int_0^{20}e^xf\left(\frac{x}{2}\right)dx

해설강의 준비중

한양대 에리카캠퍼스 2018학년도 수시 오전 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/hanyang-erica/2018su_am/jayeon_2

2-1. f(x)={3x(0≤x<1)3(1≤x<5)−35x+6(5≤x<10)\displaystyle f(x)=\begin{cases}3x&(0\le x<1)\\3&(1\le x<5)\\-\frac35x+6&(5\le x<10)\end{cases}f(x+1−1)={3(x+1−1)(0≤x+1−1<1)3(1≤x+1−1<5)−35(x+1−1)+6(5≤x+1−1<10)={3(x+1−1)(0≤x<3)3(3≤x<35)−35(x+1−1)+6(35≤x<120)\displaystyle \begin{aligned}f(\sqrt{x+1}-1)&=\begin{cases}3(\sqrt{x+1}-1)&(0\le\sqrt{x+1}-1<1)\\3&(1\le\sqrt{x+1}-1<5)\\-\frac35(\sqrt{x+1}-1)+6&(5\le\sqrt{x+1}-1<10)\end{cases}\\&=\begin{cases}3(\sqrt{x+1}-1)&(0\le x<3)\\3&(3\le x<35)\\-\frac35(\sqrt{x+1}-1)+6&(35\le x<120)\end{cases}\end{aligned}

∫010f(x+1−1)dx=∫03f(x+1−1)dx+∫310f(x+1−1)dx=∫033(x+1−1)dx+∫3103dx=[2(x+1)32−3x]03+[3x]310=16−9−2+30−9=26\displaystyle \begin{aligned}\int_0^{10}f(\sqrt{x+1}-1)dx&=\int_0^3f(\sqrt{x+1}-1)dx+\int_3^{10}f(\sqrt{x+1}-1)dx\\&=\int_0^33(\sqrt{x+1}-1)dx+\int_3^{10}3dx\\&=\Biggl[2(x+1)^{\frac32}-3x\Biggr]_0^3+\Biggl[3x\Biggr]_3^{10}\\&=16-9-2+30-9\\&=26\end{aligned}

2-2. 1-2 와 같은 방법으로Correction. ‘1-2’는 ‘2-1’의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.f(x2)={32x(0≤x<2)3(2≤x<10)−310x+6(10≤x<20)\displaystyle f\left(\frac{x}{2}\right)=\begin{cases}\frac32x&(0\le x<2)\\3&(2\le x<10)\\-\frac3{10}x+6&(10\le x<20)\end{cases}∫020exf(x2)dx=∫02exf(x2)dx+∫210exf(x2)dx+∫1020exf(x2)dx=∫02ex(3x2)dx+∫210ex(3)dx+∫1020ex(−3x10+6)dx\displaystyle \begin{aligned}\int_0^{20}e^xf\left(\frac{x}{2}\right)dx&=\int_0^2e^xf\left(\frac{x}{2}\right)dx+\int_2^{10}e^xf\left(\frac{x}{2}\right)dx+\int_{10}^{20}e^xf\left(\frac{x}{2}\right)dx\\&=\int_0^2e^x\left(\frac{3x}{2}\right)dx+\int_2^{10}e^x(3)dx+\int_{10}^{20}e^x\left(-\frac{3x}{10}+6\right)dx\end{aligned}제시문 <나>를 이용하면,=[32xex]02−∫0232exdx+3∫210exdx+6∫1020exdx−[3x10ex]1020+∫1020310exdx=3e2−32e2+32+3e10−3e2+6e20−6e10−6e20+3e10+310e20−310e10=310e20−310e10−32e2+32\displaystyle \begin{aligned}&=\Biggl[\frac32xe^x\Biggr]_0^2-\int_0^2\frac32e^xdx+3\int_2^{10}e^xdx+6\int_{10}^{20}e^xdx-\Biggl[\frac{3x}{10}e^x\Biggr]_{10}^{20}+\int_{10}^{20}\frac3{10}e^xdx\\&=3e^2-\frac32e^2+\frac32+3e^{10}-3e^2+6e^{20}-6e^{10}-6e^{20}+3e^{10}+\frac3{10}e^{20}-\frac3{10}e^{10}\\&=\frac3{10}e^{20}-\frac3{10}e^{10}-\frac32e^2+\frac32\end{aligned}

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