자연계열 1번

[가] $\displaystyle p(n)(n=1,2,3,...)$는 다음과 같은 명제를 나타낸다.$\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}$이 모두 양의 실수일때,$\displaystyle \left(\frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n}\right)^{n}\ge x_{1}x_{2}\cdots x_{n}$이 때, 모든 양의 수 $\displaystyle x_{1}$에 대해 $\displaystyle x_{1}\ge x_{1}$이므로 $\displaystyle p(1)$은 성립한다.또 $\displaystyle (x_{1}-x_{2})^{2}=x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}\ge 0$이므로 $\displaystyle \left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\right)^{2}\ge x_{1}x_{2}\ (x_{1},x_{2}>0)$이다.따라서 $\displaystyle p(2)$도 성립한다.

[나] 양의 정수 m에 대해서, p(m)이 성립하면 p(2m)이 성립함을 다음과 같이 보일 수 있다.$\displaystyle \left(\frac{x_{1}+\cdots+x_{m}+x_{m+1}+\cdots+x_{2m}}{2m}\right)^{2m}=\left[\frac{\left(\frac{(x_{1}+\cdots+x_{m})+(x_{m+1}+\cdots+x_{2m})}{2}\right)^{2}}{m^{2}}\right]^{m}$$\displaystyle \ge\left[\frac{(x_{1}+\cdots+x_{m})\cdot(x_{m+1}+\cdots+x_{2m})}{m\cdot m}\right]^{m}=\left(\frac{x_{1}+\cdots+x_{m}}{m}\right)^{m}\left(\frac{x_{m+1}+\cdots+x_{2m}}{m}\right)^{m}$$\displaystyle \ge(x_{1}\cdots x_{m})\cdot(x_{m+1}\cdots x_{2m})=x_{1}\cdots x_{2m}$

[다] 양의 정수 m에 대해서, p(m+1)이 성립하면 p(m)이 성립함을 다음과 같이 보일 수 있다. p(m+1)이 성립하므로,$\displaystyle \left(\frac{x_{1}+\cdots+x_{m}+x_{m+1}}{m+1}\right)^{m+1}\ge x_{1}\cdots x_{m}x_{m+1}$이는 모든 양의 정수 $\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},\cdots,x_{m},x_{m+1}$에 대해서 성립하므로,Correction. [다]에서 $\displaystyle x_1,\ldots,x_{m+1}$과 $\displaystyle x_1,\ldots,x_m$을 ‘양의 정수’라고 한 부분은 ‘양의 실수’로 써야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.특히 $\displaystyle x_{m+1}=\frac{x_{1}+\cdots+x_{m}}{m}$ 에 대해서도 성립한다.이 식에 $\displaystyle x_{m+1}=\frac{x_{1}+\cdots+x_{m}}{m}$를 대입하면,$\displaystyle \left(\frac{x_{1}+\cdots+x_{m}+\frac{x_{1}+\cdots+x_{m}}{m}}{m+1}\right)^{m+1}\ge x_{1}\cdots x_{m}\times\frac{x_{1}+\cdots+x_{m}}{m}$이를 정리하면,$\displaystyle \left(\frac{x_{1}+\cdots+x_{m}}{m}\right)^{m}\ge x_{1}\cdots x_{m}$이는 모든 양의 정수 $\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}\cdots,x_{m}$에 대해서 성립하므로, $\displaystyle p(m)$이 성립한다.