의예과 1번

(문항 1) [가]에서 언급하였듯이 $\displaystyle p(1)$은 성립한다. 따라서 [나]에 의해 명제 $\displaystyle p(1),p(2),p(4),\ldots,p(2^k),\ldots$들이 성립함을 알 수 있다. 또 $\displaystyle p(2^k)$가 성립하면, [다]에 의해 $\displaystyle p(2^k-1),p(2^k-2),\ldots,p(1)$들이 차례대로 성립한다. 따라서 모든 양의정수 $\displaystyle n$에 대해 $\displaystyle p(n)$이 성립한다.

(문항 2) $\displaystyle p(2):\left(\frac{x_1+x_2}2\right)^2\ge x_1x_2\ (x_1,x_2>0)$에서 $\displaystyle x_1,x_2$를 직사각형의 양변의 길이라 놓으면, $\displaystyle x_1x_2$는 둘레의 길이가 $\displaystyle 2(x_1+x_2)$인 일반적인 직사각형의 면적을 나타내고 $\displaystyle \left(\frac{x_1+x_2}2\right)^2$는 둘레의 길이가 $\displaystyle 2(x_1+x_2)$인 정사각형의 면적을 나타낸다. 그러므로 $\displaystyle p(2)$에 의해 둘레의 길이가 일정할 때 정사각형의 면적이 최대가 된다.

$\displaystyle p(3):\left(\frac{x_1+x_2+x_3}3\right)^3\ge x_1x_2x_3\ (x_1,x_2,x_3>0)$에서 $\displaystyle x_1,x_2,x_3$를 직육면체의 세변의 길이라 놓으면, $\displaystyle x_1x_2x_3$는 (12개의) 변의 총 길이가 $\displaystyle 4(x_1+x_2+x_3)$인 일반적인 직육면체의 부피를 나타낸다. 한편 $\displaystyle \left(\frac{x_1+x_2+x_3}3\right)^3$는 (12개의) 변의 총 길이가 $\displaystyle 4(x_1+x_2+x_3)$인 정육면체의 부피를 나타낸다. 그러므로 $\displaystyle p(3)$에 의해 (12개의) 변의 총 길이가 일정할 때 정육면체의 부피가 최대가 된다.