수리논술, 이게 다다.

자연계열 2번

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한양대 서울캠퍼스 2011학년도 모의 1차 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/hanyang_seoul/2011mo/jayeon_2

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<논술 2> 다음 제시문을 읽고 지시에 따라 논술하시오.

[가] x\displaystyle x와 y\displaystyle y가 매개변수라 불리는 t\displaystyle t의 연속함수로 연립방정식 x=f(t),y=g(t)\displaystyle x=f(t),y=g(t)로 주어졌을 때, 이 방정식을 매개변수방정식이라 한다. t\displaystyle t가 변할 때, 점 (x,y)=(f(t),g(t))\displaystyle (x,y)=(f(t),g(t))도 변하고 그 자취를 따라 곡선이 형성되며 이것을 매개변수곡선이라 부른다. 예를 들어 포물선 y=x2\displaystyle y=x^2은x=t,y=t2\displaystyle x=t,y=t^2이라는 매개변수방정식으로 표시할 수 있고, 단위원 x2+y2=1\displaystyle x^2+y^2=1은x=cos⁡t,y=sin⁡t\displaystyle x=\cos t,y=\sin t로 나타낼 수 있다. 단위원의 또 다른 매개변수화로는 유리함수를 사용하여x=1−t21+t2,y=2t1+t2\displaystyle x=\frac{1-t^2}{1+t^2},y=\frac{2t}{1+t^2}와 같이 매개변수화할 수도 있다. 이 경우 (x,y)=(−1,0)\displaystyle (x,y)=(-1,0)을 제외한 단위원 위의 모든 점이 매개변수화된다.

[나] 두 정수 a,b\displaystyle a,b와 양의 정수 n\displaystyle n에 대해, a−b\displaystyle a-b가 n\displaystyle n의 배수(즉, a−b=nq\displaystyle a-b=nq인 정수 q\displaystyle q가 존재)일 때, a\displaystyle a와 b\displaystyle b는 법 n\displaystyle n에 대해 합동이라고 하고 a≡b(modn)\displaystyle a\equiv b\pmod n으로 표기한다. 합동식에서는 다음의 법칙들이 성립한다.(i) a≡a(modn)\displaystyle a\equiv a\pmod n(ii) a≡b(modn)\displaystyle a\equiv b\pmod n이면, b≡a(modn)\displaystyle b\equiv a\pmod n(iii) a≡b(modn)\displaystyle a\equiv b\pmod n이고 b≡c(modn)\displaystyle b\equiv c\pmod n이면, a≡c(modn)\displaystyle a\equiv c\pmod n(iv) a≡b(modn)\displaystyle a\equiv b\pmod n이고 c≡d(modn)\displaystyle c\equiv d\pmod n이면, a+b≡c+d(modn)\displaystyle a+b\equiv c+d\pmod n이고 ac≡bd(modn)\displaystyle ac\equiv bd\pmod n(v) a\displaystyle a와 n\displaystyle n이 서로 소이면, ab≡1(modn)\displaystyle ab\equiv1\pmod n이 되는 정수 b\displaystyle b가 존재하고 또한 이의 역도 성립한다. 이 때, b\displaystyle b를 법 n\displaystyle n에 관한 a\displaystyle a의 역수라고 부른다. 법 n\displaystyle n에 관한 a\displaystyle a의 역수는 법 n\displaystyle n에 대해 유일하게 존재한다.

[다] 3이상의 홀수 n\displaystyle n에 대해, 집합 Sn\displaystyle S_n과 Tn\displaystyle T_n을 다음과 같이 정의하자.Sn={(a,b)∈Z×Z∣0≤a,b<n}\displaystyle S_n=\{(a,b)\in\mathbb Z\times\mathbb Z\mid0\le a,b<n\}Tn={(a,b)∈Sn∣a2−b2≡1(modn)}\displaystyle T_n=\{(a,b)\in S_n\mid a^2-b^2\equiv1\pmod n\}예를 들어 n=5\displaystyle n=5일 때, S5\displaystyle S_5의 원소 (0,2)\displaystyle (0,2)는 02−22≡1(mod5)\displaystyle 0^2-2^2\equiv1\pmod5를 만족하므로 T5\displaystyle T_5의 원소이다. 이런 식으로 T5\displaystyle T_5의 모든 원소들을 구하면, T5={(0,2),(0,3),(1,0),(4,0)}\displaystyle T_5=\{(0,2),(0,3),(1,0),(4,0)\}이 되어 총 4개의 원소를 갖는다. 비슷한 방법으로 T3\displaystyle T_3에 들어있는 원소들의 개수는 2이고, T7\displaystyle T_7에 들어있는 원소들의 개수는 6임을 확인할 수 있다.

(1) 쌍곡선 x2−y2=1\displaystyle x^2-y^2=1의 유리함수를 사용한 매개변수화 표현에 관하여 논하시오.

2. 제시문 [다]에 주어진 집합 Tn\displaystyle T_n에 들어있는 원소들의 개수에 대하여 논하시오.

해설강의 준비중

한양대 서울캠퍼스 2011학년도 모의 1차 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/hanyang_seoul/2011mo/jayeon_2

(문항 1) x2−y2=(x+y)(x−y)=1\displaystyle x^2-y^2=(x+y)(x-y)=1로부터 x+y=t\displaystyle x+y=t라고 하면, x−y=t−1\displaystyle x-y=t^{-1}이 된다. 이제 x\displaystyle x와 y\displaystyle y를 t\displaystyle t에 관한 식으로 풀면, 쌍곡선 x2−y2=1\displaystyle x^2-y^2=1의 매개변수표현x=t+t−12,y=t−t−12\displaystyle x=\frac{t+t^{-1}}2,y=\frac{t-t^{-1}}2를 얻는다.

(문항 2) 집합 Φn\displaystyle \Phi_n을 다음과 같이 정의하자.Φn={t∈Z∣0≤t<n,gcd⁡(t,n)=1}\displaystyle \Phi_n=\{t\in\mathbb Z\mid0\le t<n,\gcd(t,n)=1\}이제 집합 Tn\displaystyle T_n과 집합 Φn\displaystyle \Phi_n사이에 일대일 대응관계가 있음을 보이도록 하자.

(a,b)\displaystyle (a,b)가 Tn\displaystyle T_n의 원소일 때, a2−b2=(a+b)(a−b)≡1(modn)\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)\equiv1\pmod n이 된다. 제시문 [나]에 주어진 합동식의 성질 (v)에 의해 a+b\displaystyle a+b는 n\displaystyle n과 서로 소가 된다. 따라서 a+b(modn)\displaystyle a+b\pmod n (즉, a+b\displaystyle a+b를 n\displaystyle n으로 나눈 나머지)은 Φn\displaystyle \Phi_n의 원소가 된다. 이제 함수 f:Tn→Φn\displaystyle f:T_n\to\Phi_n을f(a,b)=a+b(modn)\displaystyle f(a,b)=a+b\pmod n으로 정의하자.

제시문 [나]에 주어진 합동식의 성질 중 (v)번 성질에 의해, Φn\displaystyle \Phi_n의 원소 t\displaystyle t에 대해 법 n\displaystyle n에 관한 t\displaystyle t의 역수가 존재하는데 이를 t∗\displaystyle t^*라고 표기하도록 하자. 또한 n\displaystyle n은 홀수이므로 2와 서로 소가 되어 2∗\displaystyle 2^*가 존재한다. 이제 함수 g:Φn→Tn\displaystyle g:\Phi_n\to T_n을g(t)=(2∗(t+t∗)(modn),2∗(t−t∗)(modn))\displaystyle g(t)=(2^*(t+t^*)\pmod n,2^*(t-t^*)\pmod n)으로 정의하자. (2∗(t+t∗))2−(2∗(t−t∗))2≡1(modn)\displaystyle (2^*(t+t^*))^2-(2^*(t-t^*))^2\equiv1\pmod n이므로 g(t)\displaystyle g(t)는 Tn\displaystyle T_n의 원소이므로 함수 g\displaystyle g가 잘 정의되어있음을 알 수 있다.

이제 함수 f\displaystyle f와 g\displaystyle g가 서로 역함수 관계에 있음을 보이도록 하자. (a,b)∈Tn\displaystyle (a,b)\in T_n에 대해g∘f(a,b)=g(a+b(modn))=(2∗((a+b)+(a−b))(modn),2∗((a+b)−(a−b))(modn))=(a,b)\displaystyle g\circ f(a,b)=g(a+b\pmod n)=(2^*((a+b)+(a-b))\pmod n,2^*((a+b)-(a-b))\pmod n)=(a,b)이고, t∈Φn\displaystyle t\in\Phi_n에 대해f∘g(t)=f(2∗(t+t∗)(modn),2∗(t−t∗)(modn))=t\displaystyle f\circ g(t)=f(2^*(t+t^*)\pmod n,2^*(t-t^*)\pmod n)=t이므로, f\displaystyle f와 g\displaystyle g가 서로 역함수 관계에 있고 따라서 Tn\displaystyle T_n에 들어있는 원소들의 개수는 Φn\displaystyle \Phi_n에 들어있는 원소들의 개수, 즉(0부터 n까지의 정수들 중에서 n과 서로 소인 원소들의 개수)와 같게 된다.

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