자연계열 2번

(문항 1) $\displaystyle x^2-y^2=(x+y)(x-y)=1$로부터 $\displaystyle x+y=t$라고 하면, $\displaystyle x-y=t^{-1}$이 된다. 이제 $\displaystyle x$와 $\displaystyle y$를 $\displaystyle t$에 관한 식으로 풀면, 쌍곡선 $\displaystyle x^2-y^2=1$의 매개변수표현$\displaystyle x=\frac{t+t^{-1}}2,y=\frac{t-t^{-1}}2$를 얻는다.

(문항 2) 집합 $\displaystyle \Phi_n$을 다음과 같이 정의하자.$\displaystyle \Phi_n=\{t\in\mathbb Z\mid0\le t<n,\gcd(t,n)=1\}$이제 집합 $\displaystyle T_n$과 집합 $\displaystyle \Phi_n$사이에 일대일 대응관계가 있음을 보이도록 하자.

$\displaystyle (a,b)$가 $\displaystyle T_n$의 원소일 때, $\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)\equiv1\pmod n$이 된다. 제시문 [나]에 주어진 합동식의 성질 (v)에 의해 $\displaystyle a+b$는 $\displaystyle n$과 서로 소가 된다. 따라서 $\displaystyle a+b\pmod n$ (즉, $\displaystyle a+b$를 $\displaystyle n$으로 나눈 나머지)은 $\displaystyle \Phi_n$의 원소가 된다. 이제 함수 $\displaystyle f:T_n\to\Phi_n$을$\displaystyle f(a,b)=a+b\pmod n$으로 정의하자.

제시문 [나]에 주어진 합동식의 성질 중 (v)번 성질에 의해, $\displaystyle \Phi_n$의 원소 $\displaystyle t$에 대해 법 $\displaystyle n$에 관한 $\displaystyle t$의 역수가 존재하는데 이를 $\displaystyle t^*$라고 표기하도록 하자. 또한 $\displaystyle n$은 홀수이므로 2와 서로 소가 되어 $\displaystyle 2^*$가 존재한다. 이제 함수 $\displaystyle g:\Phi_n\to T_n$을$\displaystyle g(t)=(2^*(t+t^*)\pmod n,2^*(t-t^*)\pmod n)$으로 정의하자. $\displaystyle (2^*(t+t^*))^2-(2^*(t-t^*))^2\equiv1\pmod n$이므로 $\displaystyle g(t)$는 $\displaystyle T_n$의 원소이므로 함수 $\displaystyle g$가 잘 정의되어있음을 알 수 있다.

이제 함수 $\displaystyle f$와 $\displaystyle g$가 서로 역함수 관계에 있음을 보이도록 하자. $\displaystyle (a,b)\in T_n$에 대해$\displaystyle g\circ f(a,b)=g(a+b\pmod n)=(2^*((a+b)+(a-b))\pmod n,2^*((a+b)-(a-b))\pmod n)=(a,b)$이고, $\displaystyle t\in\Phi_n$에 대해$\displaystyle f\circ g(t)=f(2^*(t+t^*)\pmod n,2^*(t-t^*)\pmod n)=t$이므로, $\displaystyle f$와 $\displaystyle g$가 서로 역함수 관계에 있고 따라서 $\displaystyle T_n$에 들어있는 원소들의 개수는 $\displaystyle \Phi_n$에 들어있는 원소들의 개수, 즉(0부터 n까지의 정수들 중에서 n과 서로 소인 원소들의 개수)와 같게 된다.