한양대 서울캠퍼스 2011학년도 모의 1차 의예과 2번 해설

<논술 2> 다음 제시문을 읽고 지시에 따라 논술하시오.

[가] $\displaystyle x$ 와 $\displaystyle y$ 가 매개변수라 불리는 $\displaystyle t$ 의 연속함수로 연립방정식 $\displaystyle x=f(t),y=g(t)$ 로 주어졌을 때, 이 방정식을 매개변수방정식이라 한다. $\displaystyle t$ 가 변할 때, 점 $\displaystyle (x,y)=(f(t),g(t))$ 도 변하고 그 자취를 따라 곡선이 형성되며 이것을 매개변수곡선이라 부른다. 예를 들어 포물선 $\displaystyle y=x^2$ 은 $\displaystyle x=t,y=t^2$ 이라는 매개변수방정식으로 표시할 수 있고, 단위원 $\displaystyle x^2+y^2=1$ 은 $\displaystyle x=\cos t,y=\sin t$ 로 나타낼 수 있다. 단위원의 또 다른 매개변수화로는 유리함수를 사용하여 $\displaystyle x=\frac{1-t^2}{1+t^2},y=\frac{2t}{1+t^2}$ 와 같이 매개변수화할 수도 있다. 이 경우 $\displaystyle (x,y)=(-1,0)$ 을 제외한 단위원 위의 모든 점이 매개변수화된다.

[나] 두 정수 $\displaystyle a,b$ 와 양의 정수 $\displaystyle n$ 에 대해, $\displaystyle a-b$ 가 $\displaystyle n$ 의 배수(즉, $\displaystyle a-b=nq$ 인 정수 $\displaystyle q$ 가 존재)일 때, $\displaystyle a$ 와 $\displaystyle b$ 는 법 $\displaystyle n$ 에 대해 합동이라고 하고 $\displaystyle a\equiv b\pmod n$ 으로 표기한다. 합동식에서는 다음의 법칙들이 성립한다.(i) $\displaystyle a\equiv a\pmod n$ (ii) $\displaystyle a\equiv b\pmod n$ 이면, $\displaystyle b\equiv a\pmod n$ (iii) $\displaystyle a\equiv b\pmod n$ 이고 $\displaystyle b\equiv c\pmod n$ 이면, $\displaystyle a\equiv c\pmod n$ (iv) $\displaystyle a\equiv b\pmod n$ 이고 $\displaystyle c\equiv d\pmod n$ 이면, $\displaystyle a+b\equiv c+d\pmod n$ 이고 $\displaystyle ac\equiv bd\pmod n$ Correction. 합동식을 더한 결론 $\displaystyle a+b\equiv c+d\pmod n$ 은 $\displaystyle a+c\equiv b+d\pmod n$ 의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.(v) $\displaystyle a$ 와 $\displaystyle n$ 이 서로 소이면, $\displaystyle ab\equiv1\pmod n$ 이 되는 정수 $\displaystyle b$ 가 존재하고 또한 이의 역도 성립한다. 이 때, $\displaystyle b$ 를 법 $\displaystyle n$ 에 관한 $\displaystyle a$ 의 역수라고 부른다. 법 $\displaystyle n$ 에 관한 $\displaystyle a$ 의 역수는 법 $\displaystyle n$ 에 대해 유일하게 존재한다.

[다] 3이상의 홀수 $\displaystyle n$ 에 대해, 집합 $\displaystyle S_n$ 과 $\displaystyle T_n$ 을 다음과 같이 정의하자. $\displaystyle S_n=\{(a,b)\in\mathbb Z\times\mathbb Z\mid0\le a,b<n\}$ $\displaystyle T_n=\{(a,b)\in S_n\mid a^2-b^2\equiv1\pmod n\}$ 예를 들어 $\displaystyle n=5$ 일 때, $\displaystyle S_5$ 의 원소 $\displaystyle (0,2)$ 는 $\displaystyle 0^2-2^2\equiv1\pmod5$ 를 만족하므로 $\displaystyle T_5$ 의 원소이다. 이런 식으로 $\displaystyle T_5$ 의 모든 원소들을 구하면, $\displaystyle T_5=\{(0,2),(0,3),(1,0),(4,0)\}$ 이 되어 총 4개의 원소를 갖는다. 비슷한 방법으로 $\displaystyle T_3$ 에 들어있는 원소들의 개수는 2이고, $\displaystyle T_7$ 에 들어있는 원소들의 개수는 6임을 확인할 수 있다.

(1) 쌍곡선 $\displaystyle x^2-y^2=1$ 의 유리함수를 사용한 매개변수화 표현에 관하여 논하시오.

2. 제시문 [다]에 주어진 집합 $\displaystyle T_n$ 에 들어있는 원소들의 개수에 대하여 논하시오.

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(문항 1) $\displaystyle x^2-y^2=(x+y)(x-y)=1$ 로부터 $\displaystyle x+y=t$ 라고 하면, $\displaystyle x-y=t^{-1}$ 이 된다. 이제 $\displaystyle x$ 와 $\displaystyle y$ 를 $\displaystyle t$ 에 관한 식으로 풀면, 쌍곡선 $\displaystyle x^2-y^2=1$ 의 매개변수표현 $\displaystyle x=\frac{t+t^{-1}}2,y=\frac{t-t^{-1}}2$ 를 얻는다.

(문항 2) 집합 $\displaystyle \Phi_n$ 을 다음과 같이 정의하자. $\displaystyle \Phi_n=\{t\in\mathbb Z\mid0\le t<n,\gcd(t,n)=1\}$ 이제 집합 $\displaystyle T_n$ 과 집합 $\displaystyle \Phi_n$ 사이에 일대일 대응관계가 있음을 보이도록 하자.

$\displaystyle (a,b)$ 가 $\displaystyle T_n$ 의 원소일 때, $\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)\equiv1\pmod n$ 이 된다. 제시문 [나]에 주어진 합동식의 성질 (v)에 의해 $\displaystyle a+b$ 는 $\displaystyle n$ 과 서로 소가 된다. 따라서 $\displaystyle a+b\pmod n$ (즉, $\displaystyle a+b$ 를 $\displaystyle n$ 으로 나눈 나머지)은 $\displaystyle \Phi_n$ 의 원소가 된다. 이제 함수 $\displaystyle f:T_n\to\Phi_n$ 을 $\displaystyle f(a,b)=a+b\pmod n$ 으로 정의하자.

제시문 [나]에 주어진 합동식의 성질 중 (v)번 성질에 의해, $\displaystyle \Phi_n$ 의 원소 $\displaystyle t$ 에 대해 법 $\displaystyle n$ 에 관한 $\displaystyle t$ 의 역수가 존재하는데 이를 $\displaystyle t^*$ 라고 표기하도록 하자. 또한 $\displaystyle n$ 은 홀수이므로 2와 서로 소가 되어 $\displaystyle 2^*$ 가 존재한다. 이제 함수 $\displaystyle g:\Phi_n\to T_n$ 을 $\displaystyle g(t)=(2^*(t+t^*)\pmod n,2^*(t-t^*)\pmod n)$ 으로 정의하자. $\displaystyle (2^*(t+t^*))^2-(2^*(t-t^*))^2\equiv1\pmod n$ 이므로 $\displaystyle g(t)$ 는 $\displaystyle T_n$ 의 원소이므로 함수 $\displaystyle g$ 가 잘 정의되어있음을 알 수 있다.

이제 함수 $\displaystyle f$ 와 $\displaystyle g$ 가 서로 역함수 관계에 있음을 보이도록 하자. $\displaystyle (a,b)\in T_n$ 에 대해 $\displaystyle g\circ f(a,b)=g(a+b\pmod n)=(2^*((a+b)+(a-b))\pmod n,2^*((a+b)-(a-b))\pmod n)=(a,b)$ 이고, $\displaystyle t\in\Phi_n$ 에 대해 $\displaystyle f\circ g(t)=f(2^*(t+t^*)\pmod n,2^*(t-t^*)\pmod n)=t$ 이므로, $\displaystyle f$ 와 $\displaystyle g$ 가 서로 역함수 관계에 있고 따라서 $\displaystyle T_n$ 에 들어있는 원소들의 개수는 $\displaystyle \Phi_n$ 에 들어있는 원소들의 개수, 즉(0부터 n까지의 정수들 중에서 n과 서로 소인 원소들의 개수)와 같게 된다.

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