자연계열 1번

1. 소수의 개수가 유한하다고 가정하고 그 개수를 $\displaystyle N$이라 하면, 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f(x)\le N$이다.[명제1]에 의하여 $\displaystyle x\ge1$인 모든 $\displaystyle x$에 대하여$\displaystyle \ln x\le f(x)+1\le N+1$이다. 그런데 $\displaystyle x\to\infty$일 때 $\displaystyle \ln x\to\infty$이므로 $\displaystyle \ln x>N+1$인 $\displaystyle x$가 존재하여 모순이다.따라서 소수의 총개수는 무한하다.

2. $\displaystyle A_{n}=2^{2^{n}}+1\ge3$이므로 $\displaystyle A_{n}$은 적어도 하나의 소인수를 가진다. 그중 하나를 골라 $\displaystyle p_{n}$이라 하자.$\displaystyle n\ne m$이면 [명제2]에 의하여 $\displaystyle A_{n}$과 $\displaystyle A_{m}$이 서로소이므로 두 수는 공통인 소인수를 갖지 않고, 따라서 $\displaystyle p_{n}\ne p_{m}$이다.즉 서로 다른 $\displaystyle n=0,1,2,\cdots$에 서로 다른 소수 $\displaystyle p_{n}$이 대응하므로 소수는 적어도 자연수만큼 많다.따라서 소수의 총개수는 무한하다.

3. 수학적 귀납법으로 $\displaystyle A_{n}-2=A_{0}A_{1}\cdots A_{n-1}$ $\displaystyle (n\ge1)$임을 보인다.$\displaystyle n=1$일 때 $\displaystyle A_{1}-2=5-2=3=A_{0}$이므로 성립한다.$\displaystyle n=k$일 때 $\displaystyle A_{k}-2=A_{0}A_{1}\cdots A_{k-1}$이 성립한다고 하면$\displaystyle A_{k+1}-2=2^{2^{k+1}}-1=\left(2^{2^{k}}\right)^{2}-1=\left(2^{2^{k}}-1\right)\left(2^{2^{k}}+1\right)=(A_{k}-2)A_{k}$이므로 $\displaystyle A_{k+1}-2=A_{0}A_{1}\cdots A_{k-1}A_{k}$가 되어 $\displaystyle n=k+1$일 때도 성립한다.따라서 모든 $\displaystyle n\ge1$에 대하여$\displaystyle A_{n}-(A_{0}A_{1}\cdots A_{n-1})=2$이다.

4. $\displaystyle n\ne m$이라 하고, 일반성을 잃지 않고 $\displaystyle n>m$이라 하자. $\displaystyle A_{n}$과 $\displaystyle A_{m}$의 최대공약수를 $\displaystyle d$라 하면 $\displaystyle d\ge1$이다.$\displaystyle m\le n-1$이므로 $\displaystyle A_{m}$은 곱 $\displaystyle A_{0}A_{1}\cdots A_{n-1}$의 인수이고, $\displaystyle d$가 $\displaystyle A_{m}$의 약수이므로 $\displaystyle d$는 $\displaystyle A_{0}A_{1}\cdots A_{n-1}$의 약수이다.또 $\displaystyle d$는 $\displaystyle A_{n}$의 약수이므로 3번의 결과에 의하여 $\displaystyle d$는$\displaystyle A_{n}-(A_{0}A_{1}\cdots A_{n-1})=2$의 약수이다. 즉 $\displaystyle d=1$ 또는 $\displaystyle d=2$이다.그런데 $\displaystyle A_{n}=2^{2^{n}}+1$은 홀수이고 $\displaystyle d$는 그 약수이므로 $\displaystyle d$는 짝수일 수 없다. 따라서 $\displaystyle d=1$이다.그러므로 $\displaystyle n\ne m$이면 $\displaystyle A_{n}$과 $\displaystyle A_{m}$은 서로소이고, [명제2]는 참이다.