자연계열 1번

문항 1-1) $\displaystyle c=0$ 즉 점 $\displaystyle (0,\ 1)$에서 접선방정식을 구하면$\displaystyle 1+x\le e^{x}.$또는 $\displaystyle e^{x-1}\ge x$ 에서 $\displaystyle x$ 대신에 $\displaystyle x+1$을 대입하면$\displaystyle 1+x\le e^{x}.$

문항 1-2) $\displaystyle x=a$에서 $\displaystyle x=b$까지 $\displaystyle y=e^{x}$로 둘러싸인 도형의 넓이는 밑변 $\displaystyle (b-a)$와 점 $\displaystyle (a,\ e^{a})$, 점 $\displaystyle (b,\ e^{b})$을 잇는 직선으로 둘러싸인 사다리꼴의 넓이보다 작다. 즉$\displaystyle \int_{a}^{b}e^{x}dx=e^{b}-e^{a}<(b-a)\frac{e^{a}+e^{b}}{2}$$\displaystyle \frac{e^{b}-e^{a}}{b-a}<\frac{e^{a}+e^{b}}{2}.$

문항 1-3) $\displaystyle \int_{a}^{b}\sqrt{1+e^{2x}}\,dx$의 상하한을 구하기 위하여 피적분함수 $\displaystyle \sqrt{1+e^{2x}}$ 의 상하한을 먼저 구한다.$\displaystyle 1+x\le e^{x}$ 를 이용하면 $\displaystyle \sqrt{2+2x}\le\sqrt{1+e^{2x}}$이며, $\displaystyle \sqrt{a_{1}a_{2}}\le\frac{a_{1}+a_{2}}{2}$ 을 이용하면 $\displaystyle \sqrt{1+e^{2x}}\le\frac{1}{2}+\frac{1+e^{2x}}{2}=1+\frac{e^{2x}}{2}$ 이다. 따라서$\displaystyle \sqrt{2}\int_{a}^{b}\sqrt{1+x}\,dx\le\int_{a}^{b}\sqrt{1+e^{2x}}\,dx\le\int_{a}^{b}\left(1+\frac{e^{2x}}{2}\right)dx$$\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}\left[(1+b)^{3/2}-(1+a)^{3/2}\right]\le\int_{a}^{b}\sqrt{1+e^{2x}}\,dx\le b-a+\frac{e^{2b}-e^{2a}}{4}.$

문항 2) 모든 $\displaystyle k=1,2,\cdots,n$에 대하여 $\displaystyle \frac{a_{k}}{M}\ne1$ ($\displaystyle a_{k}\ne M$)이면 $\displaystyle \frac{a_{k}}{M}<e^{\frac{a_{k}}{M}-1}$, $\displaystyle \frac{a_{k}}{M}=1$이면 $\displaystyle \frac{a_{k}}{M}=e^{0}=1$ 이므로 $\displaystyle \frac{a_{k}}{M}\le e^{\frac{a_{k}}{M}-1}$이 성립한다. 따라서 모든 $\displaystyle k=1,2,\cdots,n$에 대해 $\displaystyle a_{k}\ne M$ 라면$\displaystyle \frac{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}{M^{n}}<e^{\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{M}-n}=1$ (⋆)

(⋆)식에서 부등식($\displaystyle <$)이 등호($\displaystyle =$)가 성립하는 경우는 모든 $\displaystyle k=1,2,\cdots,n$에 대해 $\displaystyle a_{k}=M$ 일 때 (⋆)식으로부터 즉$\displaystyle \frac{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}{M^{n}}=e^{\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{M}-n}=1$또는 $\displaystyle \frac{a_{k}}{M}\le e^{\frac{a_{k}}{M}-1}$을 $\displaystyle k=1,2,\cdots,n$에 대하여 $\displaystyle n$번 연속적으로 사용하고 그 부등식들을 각각 변변 곱하면 다음 부등식이 된다.$\displaystyle \frac{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}{M^{n}}\le e^{\frac{a_{1}}{M}-1}e^{\frac{a_{2}}{M}-1}\cdots e^{\frac{a_{n}}{M}-1}=e^{0}e^{0}\cdots e^{0}=1$ (⋆⋆)Comment. 각 지수가 모두 $\displaystyle 0$인 것은 아니다. 지수의 합이 $\displaystyle 0$이므로 곱이 $\displaystyle 1$이 된다.$\displaystyle (a_{1}a_{2}\cdots a_{n})^{\frac{1}{n}}\le\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}$(⋆⋆)식으로부터 등호는 모든 $\displaystyle k=1,2,\cdots,n$ 대하여 $\displaystyle a_{k}=M$ 즉 $\displaystyle a_{1}=a_{2}=\cdots=a_{n}$ 일 때 성립한다.

문항 3) $\displaystyle \tan C=\tan(\pi-(A+B))=-\tan(A+B)=-\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}$ 이므로 다음 식이 된다.$\displaystyle \tan A+\tan B+\tan C=\tan A\,\tan B\,\tan C.$ (#)

예각이므로 $\displaystyle \tan A$, $\displaystyle \tan B$, $\displaystyle \tan C$는 양수이다. $\displaystyle (a_{1}a_{2}a_{3})^{\frac{1}{3}}\le\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}}{3}$ 을 이용하면$\displaystyle \frac{\tan A+\tan B+\tan C}{3}=\frac{\tan A\,\tan B\,\tan C}{3}\ge(\tan A\,\tan B\,\tan C)^{1/3}$ (##)$\displaystyle \tan A\,\tan B\,\tan C\ge\sqrt{27}=3\sqrt{3}.$(#)식으로부터 $\displaystyle \tan A+\tan B+\tan C\ge3\sqrt{3}$ 등호는 $\displaystyle \tan A=\tan B=\tan C$ $\displaystyle \left(A=B=C=\frac{\pi}{3}\right)$ 일 때 즉, 정삼각형일 때 $\displaystyle \tan A+\tan B+\tan C$ 는 최소값 $\displaystyle 3\sqrt{3}$를 갖는다.위식 (##)에서 $\displaystyle \frac{(\tan A+\tan B+\tan C)}{3}\ge\{\tan A+\tan B+\tan C\}^{1/3}$, 즉 $\displaystyle \tan A+\tan B+\tan C\ge3\sqrt{3}$ 을 얻는다.