자연계열 2번

문항 1) 포물선 $\displaystyle 2y=x^2$을 직선 $\displaystyle y=x$에 대해 대칭이동하면 $\displaystyle 2x=y^2$닮음변환 $\displaystyle \begin{cases}x^{\prime}=kx\\y^{\prime}=ky\end{cases}$의 역변환은 $\displaystyle \begin{cases}x=\frac1kx^{\prime}\\y=\frac1ky^{\prime}\end{cases}$$\displaystyle 2x=y^2$에서 $\displaystyle 2kx^{\prime}=y^{\prime2}$. 이것이 $\displaystyle 8x=y^2$과 같은 곡선을 나타내려면, $\displaystyle k=4$. 따라서,$\displaystyle \begin{pmatrix}4&0\\0&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&4\\4&0\end{pmatrix}$이 구하는 행렬 중 하나. 또한 포물선 $\displaystyle 8x=4y^2$은 $\displaystyle x$축에 대칭이므로Correction. 포물선의 식 $\displaystyle 8x=4y^2$는 $\displaystyle 8x=y^2$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&4\\4&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&4\\-4&0\end{pmatrix}$도 조건을 만족.

문항 2) $\displaystyle l=\int_{-1}^1\sqrt{1+x^2}\,dx$, $\displaystyle x=\tan\theta$로 치환하면, $\displaystyle -1\le x\le1$일 때, $\displaystyle -\frac\pi4\le\theta\le\frac\pi4$$\displaystyle \begin{aligned}l&=\int_{-\frac\pi4}^{\frac\pi4}\sqrt{1+\tan^2\theta}(\tan\theta)^{\prime}\,d\theta=\int_{-\frac\pi4}^{\frac\pi4}\sec^3\theta\,d\theta\\&=\int_{-\frac\pi4}^{\frac\pi4}\sec\theta(1+\tan^2\theta)\,d\theta\\&=\Biggl[\ln(\sec\theta+\tan\theta)\Biggr]_{-\frac\pi4}^{\frac\pi4}+\int_{-\frac\pi4}^{\frac\pi4}(\sec\theta)^{\prime}\tan\theta\,d\theta\end{aligned}$$\displaystyle l=\frac12\Biggl[\ln(\sec\theta+\tan\theta)\Biggr]_{-\frac\pi4}^{\frac\pi4}+\frac12\Biggl[\sec\theta\tan\theta\Biggr]_{-\frac\pi4}^{\frac\pi4}=\ln(\sqrt2+1)+\sqrt2$$\displaystyle C^{\prime}$은 $\displaystyle 8x=y^2,\ -4\le y\le4$이므로 $\displaystyle C^{\prime}$의 길이 $\displaystyle l^{\prime}$은$\displaystyle l^{\prime}=\int_{-4}^4\sqrt{1+(\frac d{dy}(\frac18y^2))^2}\,dy=\int_{-4}^4\sqrt{1+(\frac14y)^2}\,dy$$\displaystyle \frac14y=x$로 치환하면$\displaystyle l^{\prime}=4\int_{-1}^1\sqrt{1+x^2}\,dx=4l$$\displaystyle l^{\prime}=4(\ln(\sqrt2+1)+\sqrt2)$

문항 3)

$\displaystyle l$위의 점 $\displaystyle X$에 $\displaystyle f$를 반복 적용하여 $\displaystyle X$가 $\displaystyle l$위의 다른 점 $\displaystyle X^{\prime}$으로 옮겨졌다고 하자.$\displaystyle f$가 $\displaystyle O$를 회전축으로 하는 회전변환이므로 $\displaystyle OX=OX^{\prime}$이고$\displaystyle \frac\pi6$만큼의 회전이므로 $\displaystyle \angle XOX^{\prime}=\frac\pi6n,\ n=1,2,3,4,5$$\displaystyle \angle XOX^{\prime}=\frac\pi6n$이면 $\displaystyle X$에 $\displaystyle f$를 $\displaystyle n$번 혹은 $\displaystyle (12-n)$번 적용하면 $\displaystyle X^{\prime}$으로 옮겨진다. $\displaystyle X^{\prime}$도 마찬가지로 $\displaystyle X$로 옮겨진다.따라서 10개