자연계열 1번

1. 답안 1) $\displaystyle \left(3^{2.5}\right)^{2}=3^{5}=243$, $\displaystyle \left(2.5^{3}\right)^{2}=2.5^{6}=\frac{5^{6}}{2^{6}}>244$　∴ $\displaystyle 3^{2.5}<2.5^{3}$

답안 2) $\displaystyle y=\frac{2.5^{3}}{3^{2.5}}$　$\displaystyle \log y=3\log 2.5-2.5\log 3=3(1-2\log 2)-2.5\log 3=3-6\log 2-2.5\log 3$$\displaystyle \log 2<0.3011$, $\displaystyle \log 3<0.4772$ 이므로,$\displaystyle \log y>3-6\times 0.3011-2.5\times 0.4772=0.0004>0$ 이므로 $\displaystyle y>1$∴ $\displaystyle 3^{2.5}<2.5^{3}$

2. 답안1) log를 활용한 풀이$\displaystyle y=\frac{2.4^{3}}{3^{2.4}}$　$\displaystyle \log y=3\log 2.4-2.4\log 3=0.6\log 3+9\log 2-3$$\displaystyle \log 2<0.3011$, $\displaystyle \log 3<0.4772$ 이므로,$\displaystyle 0.6\log 3+9\log 2<(0.6)(0.4772)+9(0.3011)=0.28632+2.7099=2.99622<3$∴ $\displaystyle \log y<0$, $\displaystyle y<1$ 이므로 $\displaystyle 3^{2.4}>2.4^{3}$

답안2) 거듭제곱을 직접 계산$\displaystyle \left(\frac{2.4^{3}}{3^{2.4}}\right)^{5}=\frac{2.4^{15}}{3^{12}}=\frac{504857.3\cdots}{531441}<1$　∴ $\displaystyle 3^{2.4}>2.4^{3}$

3. $\displaystyle f(x)=x^{\frac{1}{x}}$　$\displaystyle \ln f(x)=\frac{1}{x}\ln x$양변을 $\displaystyle x$에 대해 미분하면, $\displaystyle \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-(\ln x)\cdot 1}{x^{2}}=\frac{1-\ln x}{x^{2}}$, $\displaystyle f^{\prime}(x)=x^{\frac{1}{x}}\left(\frac{1-\ln x}{x^{2}}\right)$$\displaystyle x>0$ 이므로 $\displaystyle \frac{x^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}>0$∴ $\displaystyle 0<x<e$ 이면 $\displaystyle f^{\prime}(x)>0$ 이므로 $\displaystyle f(x)$는 증가하고,　$\displaystyle x>e$ 이면 $\displaystyle f^{\prime}(x)<0$ 이므로 $\displaystyle f(x)$는 감소한다.

4. $\displaystyle e<3<\pi$이므로 물음 3의 결론을 이용하면, $\displaystyle f(3)>f(\pi)$, 즉 $\displaystyle 3^{\frac{1}{3}}>\pi^{\frac{1}{\pi}}$, $\displaystyle \left(3^{\frac{1}{3}}\right)^{3\pi}>\left(\pi^{\frac{1}{\pi}}\right)^{3\pi}$∴ $\displaystyle 3^{\pi}>\pi^{3}$

5. $\displaystyle f(x)=x^{\frac{1}{x}}$, $\displaystyle \ln f(x)=\frac{\ln x}{x}$　$\displaystyle \lim_{x\to 0^{+}}\frac{\ln x}{x}=-\infty$ 이므로 $\displaystyle \lim_{x\to 0^{+}}f(x)=0$ 이다. $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x}=0$ 이므로 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=1$ 이다.이를 물음 3에서 조사된 $\displaystyle f(x)$의 증감에 적용시켜 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프 개형을 그려보면 아래와 같다.

$\displaystyle b^{\frac{1}{b}}=a^{\frac{1}{a}}$ 이면 $\displaystyle \left(b^{\frac{1}{b}}\right)^{ab}=\left(a^{\frac{1}{a}}\right)^{ab}$, $\displaystyle b^{a}=a^{b}$ 이다.따라서, $\displaystyle a^{x}=x^{a}$ 에 대해 $\displaystyle x\ne a$인 양의 실수 $\displaystyle x$는,$\displaystyle 0<a\le 1$ 또는 $\displaystyle a=e$ 일 때는 존재하지 않고, $\displaystyle 1<a<e$ 또는 $\displaystyle a>e$ 이면 1개 존재한다.