자연계열 2번

1. $\displaystyle \frac1{a_{n+1}}=\frac{2a_n+1}{a_n}=2+\frac1{a_n}$이므로, $\displaystyle \{\frac1{a_n}\}$은 공차 2, 첫째항 $\displaystyle \frac1{a_1}=3$인 등차수열이다.따라서 $\displaystyle \frac1{a_n}=3+(n-1)2=2n+1$이고 $\displaystyle \{a_n\}$의 일반항은 $\displaystyle a_n=\frac1{2n+1}$이다.이때, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=0=\alpha$이므로 $\displaystyle \alpha$는 $\displaystyle \{a_n\}$의 극한값이다.$\displaystyle b_1=2$이고, $\displaystyle b_{n+1}-b_n=\frac{b_n^2+1}{b_n-1}-b_n=\frac{b_n+1}{b_n-1}=1+\frac2{b_n-1}>0$이므로, 임의의 $\displaystyle n$에 대해 $\displaystyle b_n$은 양수이다.(‘$\displaystyle \{b_n\}$은 첫째항이 2인 증가수열이다’ 또는 ‘$\displaystyle \{b_n\}$은 $\displaystyle \infty$로 발산한다’라고 써도 인정)따라서 $\displaystyle \beta=-1$은 수열 $\displaystyle \{b_n\}$의 극한값이 아니다.따라서 이 학생의 방법이 항상 성립하는 것은 아니다.

2. (1) (점 $\displaystyle \mathrm O$에서 점 $\displaystyle \mathrm P_{n+1}$로 갈 수 있는 경로의 수)=(점 $\displaystyle \mathrm O$에서 점 $\displaystyle \mathrm P_n$으로 갈 수 있는 경로의 수)+(점 $\displaystyle \mathrm O$에서 점 $\displaystyle \mathrm Q_n$으로 갈 수 있는 경로의 수)따라서 $\displaystyle x_{n+1}=x_n+y_n$(점 $\displaystyle \mathrm O$에서 점 $\displaystyle \mathrm Q_{n+1}$로 갈 수 있는 경로의 수)=(점 $\displaystyle \mathrm O$에서 점 $\displaystyle \mathrm P_n$으로 갈 수 있는 경로의 수)$\displaystyle \times2$+(점 $\displaystyle \mathrm O$에서 점 $\displaystyle \mathrm Q_n$으로 갈 수 있는 경로의 수)따라서 $\displaystyle y_{n+1}=2x_n+y_n$

(2) $\displaystyle \begin{aligned}y_n+\sqrt2x_n&=2x_{n-1}+y_{n-1}+\sqrt2(x_{n-1}+y_{n-1})\\&=(1+\sqrt2)(y_{n-1}+\sqrt2x_{n-1})\\&=(1+\sqrt2)^2(y_{n-2}+\sqrt2x_{n-2})\\&\quad\cdots\\&=(1+\sqrt2)^n\end{aligned}$같은 방법으로, $\displaystyle y_n-\sqrt2x_n=(1-\sqrt2)^n$

(2)의 별해(1)에서 구한 관계식에 $\displaystyle n=1,2,3,\cdots$ 몇 개의 항을 대입해 보면 $\displaystyle y_n+\sqrt2x_n=(1+\sqrt2)^n$임을 추정할 수 있다.이를 수학적 귀납법으로 증명하자. 먼저 $\displaystyle n=1$일 때, $\displaystyle y_1+\sqrt2x_1=1+\sqrt2$이므로 성립.이제 $\displaystyle n=k$일 때 성립한다고 가정하면,$\displaystyle (1+\sqrt2)^{k+1}=(1+\sqrt2)(1+\sqrt2)^k=(1+\sqrt2)(y_k+\sqrt2x_k)$$\displaystyle =y_k+\sqrt2x_k+\sqrt2y_k+2x_k=y_k+2x_k+\sqrt2(x_k+y_k)=y_{k+1}+\sqrt2x_{k+1}$이므로 $\displaystyle n=k+1$일 때도 성립한다.$\displaystyle y_n-\sqrt2x_n=(1-\sqrt2)^n$도 같은 방법으로 추정하고 증명.

3. $\displaystyle y_n+\sqrt2x_n=(1+\sqrt2)^n,\quad y_n-\sqrt2x_n=(1-\sqrt2)^n$을 연립하여 풀면$\displaystyle y_n=\frac1{2\sqrt2}(\sqrt2(1+\sqrt2)^n+\sqrt2(1-\sqrt2)^n)$$\displaystyle x_n=\frac1{2\sqrt2}((1+\sqrt2)^n-(1-\sqrt2)^n)$이다. 따라서 수열 $\displaystyle \{z_n\}$의 일반항은 $\displaystyle z_n=\frac{\sqrt2((1+\sqrt2)^n+(1-\sqrt2)^n)}{(1+\sqrt2)^n-(1-\sqrt2)^n}$$\displaystyle \lim_{n\to\infty}z_n=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt2((1+\sqrt2)^n+(1-\sqrt2)^n)}{(1+\sqrt2)^n-(1-\sqrt2)^n}=\lim_{n\to\infty}\sqrt2\left(\frac{1+(\frac{1-\sqrt2}{1+\sqrt2})^n}{1-(\frac{1-\sqrt2}{1+\sqrt2})^n}\right)=\sqrt2(\frac{1+0}{1-0})=\sqrt2$

4. $\displaystyle x_1=y_1=1,\ x_{n+1}=x_n+y_n,\ y_{n+1}=5x_n+y_n$이라 하자.문항 2, 3의 과정과 동일한 방법에 의해, 수열 $\displaystyle \{\frac{y_n}{x_n}\}$은 $\displaystyle \sqrt5$로 수렴함을 알 수 있다.따라서 첫 다섯 항은 $\displaystyle \frac{y_1}{x_1}=1,\ \frac{y_2}{x_2}=3,\ \frac{y_3}{x_3}=2,\ \frac{y_4}{x_4}=\frac73,\ \frac{y_5}{x_5}=\frac{11}5$이다.