자연계열 2번

[문제 2] 앞의 [문제 1]에서 구한 $\displaystyle V_k$의 식과 제시문 (나)에서 설명된 정적분의 정의와 미적분학의 기본정리를 이용하면, 다음을 얻는다.Correction. 정적분의 정의를 설명한 제시문은 (나)가 아니라 (가)이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^nV_{3k-1}&=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac1{6n}e^{\frac{3k-1}{3n}}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac16e^{-\frac1{3n}}\right)\left(\sum_{k=1}^n\frac1n e^{\frac kn}\right)\\&=\left(\lim_{n\to\infty}\frac16e^{-\frac1{3n}}\right)\left(\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac1ne^{\frac kn}\right)=\frac16\int_0^1e^x\,dx=\frac16(e-1)\end{aligned}$