자연계열 4번

[문제 4] $\displaystyle P(x,y),Q$에 대응되는 복소수를 각각 $\displaystyle z=x+iy,w$라 하면, 문제에 주어진 두 조건으로부터$\displaystyle (x-1)^2+y^2=1$ --- ①$\displaystyle w=\frac z{z-1}=\frac{x+iy}{(x-1)+iy}$ --- ②을 얻는다. ①을 이용하여 ②를 유리화하면 $\displaystyle w=x-iy$, 즉 $\displaystyle Q=Q(x,-y)$임을 알 수 있다. 따라서 $\displaystyle \overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ}=x^2-y^2=x^2-\{1-(x-1)^2\}=2x^2-2x$이고 $\displaystyle 0\le x\le2$에서 이 값의 최솟값은 ($\displaystyle x=\frac12$일 때) $\displaystyle -\frac12$이다. 이때 $\displaystyle y$좌표는 $\displaystyle y=\pm\frac{\sqrt3}2$이므로 $\displaystyle \angle POQ=\frac{2\pi}3$이다.