자연계열 4번

(가) 함수 $\displaystyle y=f(x)$가 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$에서 연속이라고 하자. 구간 $\displaystyle [a,b]$를 $\displaystyle n$등분하여 양 끝점과 각 등분점의 $\displaystyle x$좌표를 차례로 $\displaystyle a=x_0,x_1,x_2,\cdots,x_{n-1},x_n=b$라 하고, 각 소구간의 길이를 $\displaystyle \Delta x$라고 하면 $\displaystyle \Delta x=\frac{b-a}n,x_k=a+k\Delta x\ (k=0,1,2,\cdots,n)$이다. 이때,$\displaystyle S_n=f(x_1)\Delta x+f(x_2)\Delta x+\cdots+f(x_n)\Delta x=\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x$라 하면, $\displaystyle f(x)$의 연속성에 의하여 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x$의 값이 항상 존재함이 알려져 있다. 이 극한값을 함수 $\displaystyle f(x)$의 $\displaystyle a$에서 $\displaystyle b$까지의 정적분이라 하고, 이것을 기호로 $\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx$와 같이 나타낸다. 즉$\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x\quad\left(\Delta x=\frac{b-a}n,x_k=a+k\Delta x\right)$때로는 정적분의 정의를 무한급수의 합을 구하는데 이용하기도 한다.

(나) 좌표평면 위의 점 $\displaystyle X(x,y)$를 복소수 $\displaystyle z=x+iy$(여기서 $\displaystyle i^2=-1$이고 $\displaystyle x,y$는 실수)로 대응시킬 수 있다. 복소수의 집합에서는 $\displaystyle 0$과 $\displaystyle 1$이 각각 덧셈과 곱셈에 대한 항등원이다. 한편, 좌표평면 위의 두 점 $\displaystyle A(a,b),B(c,d)$에 대하여 $\displaystyle A$와 $\displaystyle B$의 합 $\displaystyle A+B$와 곱 $\displaystyle AB$를 다음과 같이 정의하자.$\displaystyle A+B=(a+c,b+d),\qquad AB=(ac-bd,ad+bc)$그러면 $\displaystyle O(0,0)$이 덧셈에 대한 항등원이 되고, $\displaystyle E(1,0)$이 곱셈에 대한 항등원이 된다.