자연계열 1번

[문제 1]$\displaystyle y=e^{2(x-a)}$와 $\displaystyle y=\frac12\ln x+a$는 서로 역함수이므로 두 함수의 그래프는 $\displaystyle y=x$에 대칭이고, 이 두 함수의 그래프가 한 점에서 만난다고 했으므로 두 함수의 그래프의 교점 $\displaystyle B$는 $\displaystyle y=x$상에 있다. 교점 $\displaystyle B$의 좌표를 $\displaystyle B(b,b)$라 두면 $\displaystyle y=x$는 교점 $\displaystyle B$에서 두 함수의 공통접선이다.

따라서 $\displaystyle 2e^{2(b-a)}=1=\frac1{2b}$가 성립한다. 이로부터 $\displaystyle b=\frac12$, $\displaystyle a=\frac12+\frac12\ln2$를 얻을 수 있다.

따라서 구하는 넓이 $\displaystyle S$는 $\displaystyle S=2\int_0^b\{e^{2(x-a)}-x\}\,dx=\frac14-\frac1{2e}$이다.