수학과학우수자 2번

인하대 2013학년도 수시 1차 수학과학우수자 2번 · mathesis.kr/archive/inha/2013su_1/mathscience_2

[문제 2] $\displaystyle N$ 개 ( $\displaystyle N\ge2$ )의 조그만 돌이 수직선 위에 놓여있다고 하자. 모든 돌이 한 곳에 있지는 않다. 어떤 양의 실수 $\displaystyle \alpha$ 에 대하여 다음과 같은 방법으로 돌을 오른쪽으로 이동시킨다.“ $\displaystyle N$ 개의 돌 중 두 개의 돌이 점 $\displaystyle A,B$ 위에 있다 하자. 이 때, 점 $\displaystyle A$ 는 점 $\displaystyle B$ 의 왼쪽에 있다. 점 $\displaystyle A$ 에 있는 돌을 점 $\displaystyle B$ 의 오른쪽에 있는 점 $\displaystyle C$ 로 $\displaystyle \overline{BC}=\alpha\overline{AB}$ 를 만족하도록 이동시킨다.”

이러한 이동을 연속적으로 여러 번 시행하여 돌들을 오른쪽으로 이동시키고자 한다. 이제 우리는 다음과 같은 명제를 증명하고자 한다.

명제 $\displaystyle S$ : $\displaystyle \alpha\ge\frac1{N-1}$ 이면, 돌들을 처음에 어떻게 배열하든 상관없이 돌들을 오른쪽으로 무한히 멀리 이동시키는 이동전략이 있다.

여기서 오른쪽으로 무한히 멀리 이동시키는 이동전략이 있다는 말은, 아무리 큰 실수 $\displaystyle M$ 을 잡더라도 모든 돌들을 $\displaystyle M$ 보다 더 오른쪽으로 이동시킬 수 있는 (유한 번의) 일련의 이동이 존재한다는 말이다.

(1) 돌들을 이동시킬 때, 매번 가장 좌측에 있는 돌과 가장 우측에 있는 돌을 선택하여 이동시키는 것을 ‘양단이동’이라 부르자. 양단이동으로 $\displaystyle k$ 번 이동시킨 후, $\displaystyle N$ 개의 돌들 중 두 돌 사이의 최소 거리를 $\displaystyle d_k$ 라 하자.

(a) 초기배열에 관계없이 $\displaystyle N-1$ 번의 양단이동으로 모든 돌이 분리된다. 그 이유를 설명하고, $\displaystyle N-2$ 번의 시행으로는 모두 분리할 수 없는 초기배열의 예를 찾으시오. (8점)

(b) $\displaystyle \alpha\ge\frac1{N-1}$ 이면 모든 양의 정수 $\displaystyle k$ 에 대하여 $\displaystyle d_{k+1}\ge d_k$ 임을 보이시오. (12점)

(2) 실은 명제 $\displaystyle S$ 의 역도 성립한다. 그 말은, $\displaystyle \alpha<\frac1{N-1}$ 이면 무엇이 성립한다는 말인가? (7점)

해설강의 준비중

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+5점 · (1)(a) 분리되는 이유 설명

[문제 2](1) (a) 양단이동을 한 번 시행하면 제일 오른쪽에 새로운 돌 하나가 분리된 채로 생긴다. 그리고 또 다른 양단이동 시 그 자리에는 다른 돌이 올 수 없다. 따라서 $\displaystyle N-1$ 번의 양단이동으로 $\displaystyle N-1$ 개가 분리되고, 나머지 하나도 분리되어 있으므로 전체적으로 분리된다.

+3점 · 예의 제시

(예) 가장 오른쪽에 2개 이상의 돌이 놓여있을 때. 예를 들면

+4점 · (1)(b) 부등식

\displaystyle d_k\le\frac1{N-1}A_k

또는 이와 같은 의미의 서술이 있으면

(b) $\displaystyle k$ 번 이동 후 좌측 끝의 돌부터 우측 끝의 돌까지의 거리를 $\displaystyle A_k$ 라 하면, $\displaystyle d_k\le\frac{A_k}{N-1}$ 이다.

+8점 · 증명의 완성

이때 한 번 더 양단이동을 하면 좌측 끝의 구간이 없어지고 우측 끝에 새로운 구간 하나가 생기며, 이 구간의 길이는 $\displaystyle \alpha A_k$ 이고 이것이 $\displaystyle d_k$ 보다 크거나 같으면 $\displaystyle d_{k+1}\ge d_k$ 가 된다. $\displaystyle \alpha\ge\frac1{N-1}$ 이므로, $\displaystyle d_k\le\frac{A_k}{N-1}\le\alpha A_k$ 이다. 따라서 $\displaystyle d_{k+1}\ge d_k$ 이다.

+8점 · (1)(c) 매 양단이동마다 일정한 양의 실수만큼 오른쪽으로 이동한다는 사실을 서술

(c) $\displaystyle N-1$ 번의 양단이동 후 모든 돌이 분리되고, 그 이 후 양단이동을 할 때 마다 가장 왼쪽의 돌의 좌표가 우측으로 최소한 $\displaystyle d_{N-1}>0$ 만큼씩 증가하므로, 어떤 $\displaystyle M$ 에 대해서도 충분히 여러 번 이동하면 돌들을 $\displaystyle M$ 보다 오른쪽(더 큰 쪽)으로 이동시킬 수 있다.

+7점 · (2) 명제의 서술

(2) 다음 답들은 모두 가능.(i) 돌들이 어떤 첫 배열에 대해서는 (또는 처음에 돌들을 적당히 배열하면), 오른쪽으로 무한히 멀리 이동시킬 수 없다(또는 이동시킬 수 있는 방법이 없다).(ii) 오른쪽으로 무한히 멀리 이동시킬 수 없는 (돌들의) 첫 배열이 존재한다.(iii) 오른쪽으로 무한히 멀리 이동시키는 방법(전략)이 존재하지 않도록(또는 이동시킬 수 없도록) 처음에 돌들을 배열할 수 있다.

(1)(c) 일정한 양의 실수만큼 오른쪽으로 이동한다는 사실을 서술하면 최소한 4점.

(2) 명제의 서술만을 평가한다. ‘무한히 멀리 이동시킨다.’의 정의에 등장하는 M을 이용하여 서술하여도 무방하다. 다만 논리적으로 완전해야만 점수를 받을 수 있다. 사소한 실수는 1~2점 감점 가능.

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