수학과학우수자 2번

[문제 2](1) (a) 양단이동을 한 번 시행하면 제일 오른쪽에 새로운 돌 하나가 분리된 채로 생긴다. 그리고 또 다른 양단이동 시 그 자리에는 다른 돌이 올 수 없다. 따라서 $\displaystyle N-1$번의 양단이동으로 $\displaystyle N-1$개가 분리되고, 나머지 하나도 분리되어 있으므로 전체적으로 분리된다.

(예) 가장 오른쪽에 2개 이상의 돌이 놓여있을 때. 예를 들면

(b) $\displaystyle k$번 이동 후 좌측 끝의 돌부터 우측 끝의 돌까지의 거리를 $\displaystyle A_k$라 하면, $\displaystyle d_k\le\frac{A_k}{N-1}$이다.

이때 한 번 더 양단이동을 하면 좌측 끝의 구간이 없어지고 우측 끝에 새로운 구간 하나가 생기며, 이 구간의 길이는 $\displaystyle \alpha A_k$이고 이것이 $\displaystyle d_k$보다 크거나 같으면 $\displaystyle d_{k+1}\ge d_k$가 된다.$\displaystyle \alpha\ge\frac1{N-1}$이므로, $\displaystyle d_k\le\frac{A_k}{N-1}\le\alpha A_k$이다. 따라서 $\displaystyle d_{k+1}\ge d_k$이다.

(c) $\displaystyle N-1$번의 양단이동 후 모든 돌이 분리되고, 그 이 후 양단이동을 할 때 마다 가장 왼쪽의 돌의 좌표가 우측으로 최소한 $\displaystyle d_{N-1}>0$ 만큼씩 증가하므로, 어떤 $\displaystyle M$에 대해서도 충분히 여러 번 이동하면 돌들을 $\displaystyle M$보다 오른쪽(더 큰 쪽)으로 이동시킬 수 있다.

(2) 다음 답들은 모두 가능.(i) 돌들이 어떤 첫 배열에 대해서는 (또는 처음에 돌들을 적당히 배열하면), 오른쪽으로 <u>무한히 멀리 이동시킬 수 없다</u>(또는 <u>이동시킬 수 있는 방법이 없다</u>).(ii) 오른쪽으로 무한히 멀리 이동시킬 수 없는 (돌들의) 첫 배열이 존재한다.(iii) 오른쪽으로 무한히 멀리 <u>이동시키는 방법(전략)이 존재하지 않도록</u>(또는 <u>이동시킬 수 없도록</u>) 처음에 돌들을 배열할 수 있다.