자연계열 2번

[문제 2](1) 구간 $\displaystyle [\alpha,\beta]$를 $\displaystyle n:m$으로 내분하는 점을 $\displaystyle \gamma=\frac m{m+n}\alpha+\frac n{m+n}\beta$라 하고, 아래 그림과 같이 $\displaystyle y=\sin x$ 위의 두 점을 $\displaystyle P(\alpha,\sin\alpha)$와 $\displaystyle Q(\beta,\sin\beta)$라 하자. $\displaystyle y=\sin x$는 구간 $\displaystyle [0,\pi]$에서 위로 볼록하기 때문에 선분 $\displaystyle PQ$는 $\displaystyle y=\sin x$의 그래프 아래에 놓이게 된다. 따라서 그림으로부터 $\displaystyle A\le B$이다. 즉 다음이 성립한다.$\displaystyle A=\frac{m\sin\alpha+n\sin\beta}{m+n}\le B=\sin\gamma=\sin\left(\frac{m\alpha+n\beta}{m+n}\right)$

(2) 수학적 귀납법으로 증명하자.$\displaystyle n=2$일 때, $\displaystyle \frac{\alpha_1+\alpha_2}2$는 구간 $\displaystyle [\alpha_1,\alpha_2]$를 $\displaystyle 1:1$로 내분하는 점이므로 (1)의 결과에 의해 부등식이 성립한다.

$\displaystyle n=k$일 때 부등식이 성립한다고 가정하자. 즉,$\displaystyle \sin\alpha_1+\sin\alpha_2+\cdots+\sin\alpha_k\le k\sin\left(\frac{\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_k}k\right)$.그러면$\displaystyle \begin{aligned} &\sin\alpha_1+\sin\alpha_2+\cdots+\sin\alpha_k+\sin\alpha_{k+1}\\ &\quad\le k\sin\left(\frac{\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_k}k\right)+\sin\alpha_{k+1} \end{aligned}$

$\displaystyle \begin{aligned} &\quad=(k+1)\left(\frac k{k+1}\sin\left(\frac{\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_k}k\right)+\frac1{k+1}\sin\alpha_{k+1}\right)\\ &\quad\le(k+1)\sin\left(\frac{\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_k+\alpha_{k+1}}{k+1}\right)\quad(\because\text{(1)의 부등식}) \end{aligned}$즉 $\displaystyle n=k+1$일 때도 성립하므로 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대해 주어진 부등식이 성립한다. 단, 부등식의 등호는 $\displaystyle \alpha_1=\alpha_2=\cdots=\alpha_n$일 때 성립한다.

(3) 그림과 같이 반지름이 $\displaystyle r$인 원에 내접하는 $\displaystyle n$각형은 원의 중심 $\displaystyle O$에서 만나는 $\displaystyle n$개의 삼각형들로 분할할 수 있다. 각 삼각형의 넓이는 $\displaystyle \frac12r^2\sin\alpha_i$ ($\displaystyle i=1,2,\cdots,n$)이다. 따라서 $\displaystyle n$각형의 넓이는 $\displaystyle \sum_{i=1}^n\frac12r^2\sin\alpha_i$이고,

(2)의 결과에 의해$\displaystyle \sum_{i=1}^n\frac12r^2\sin\alpha_i\le\frac12r^2n\sin\left(\frac{\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n}n\right)=n\times\frac12r^2\sin\frac{2\pi}n$이다. 우변은 정$\displaystyle n$각형의 넓이이고 이것이 최댓값이다.