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자연계열 2번

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인하대 2013학년도 수시 1차 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/inha/2013su_1/jayeon_2

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문제

(가) 어떤 구간에서 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x)가 위로 볼록(또는 아래로 오목)하다는 것은 이 곡선 위의 임의의 두 점 P,Q\displaystyle P,Q에 대하여 이 두 점 사이에 있는 곡선 부분이 선분 PQ\displaystyle PQ보다 항상 위에 있다는 것이다.

(나) 양의 실수 m,n\displaystyle m,n과 실수 x,y\displaystyle x,y (x<y\displaystyle x<y)에 대하여 구간 [x,y]\displaystyle [x,y]를 n:m\displaystyle n:m으로 내분하는 실수는mm+nx+nm+ny\displaystyle \frac m{m+n}x+\frac n{m+n}y이다. 또한, 평면 위의 두 점 P(a,b)\displaystyle P(a,b), Q(c,d)\displaystyle Q(c,d)에 대하여 선분 PQ\displaystyle PQ를 n:m\displaystyle n:m으로 내분하는 점의 좌표는(mm+na+nm+nc,mm+nb+nm+nd)\displaystyle \left(\frac m{m+n}a+\frac n{m+n}c,\frac m{m+n}b+\frac n{m+n}d\right)이다.

[문제 2](1) 제시문 (가)와 (나)를 이용하여 다음 부등식이 성립함을 보이시오. (6점)양의 실수 m,n\displaystyle m,n과 실수 α,β\displaystyle \alpha,\beta (0<α,β<π\displaystyle 0<\alpha,\beta<\pi)에 대하여mm+nsin⁡α+nm+nsin⁡β≤sin⁡(mm+nα+nm+nβ)\displaystyle \frac m{m+n}\sin\alpha+\frac n{m+n}\sin\beta\le\sin\left(\frac m{m+n}\alpha+\frac n{m+n}\beta\right).

(2) 0<α1,α2,⋯ ,αn<π\displaystyle 0<\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n<\pi (n≥2\displaystyle n\ge2)에 대하여 다음 부등식이 성립함을 보이시오. (12점)sin⁡α1+sin⁡α2+⋯+sin⁡αn≤nsin⁡(α1+α2+⋯+αnn)\displaystyle \sin\alpha_1+\sin\alpha_2+\cdots+\sin\alpha_n\le n\sin\left(\frac{\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n}n\right)

(3) (2)의 결과를 이용하여 원에 내접하는 n\displaystyle n각형 (n≥3\displaystyle n\ge3) 중 가장 넓이가 큰 것은 정n\displaystyle n각형임을 보이시오. (12점)

해설강의 준비중

인하대 2013학년도 수시 1차 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/inha/2013su_1/jayeon_2

+6점 · (1) 볼록성과 내분을 이용한 부등식 증명

[문제 2](1) 구간 [α,β]\displaystyle [\alpha,\beta]를 n:m\displaystyle n:m으로 내분하는 점을 γ=mm+nα+nm+nβ\displaystyle \gamma=\frac m{m+n}\alpha+\frac n{m+n}\beta라 하고, 아래 그림과 같이 y=sin⁡x\displaystyle y=\sin x 위의 두 점을 P(α,sin⁡α)\displaystyle P(\alpha,\sin\alpha)와 Q(β,sin⁡β)\displaystyle Q(\beta,\sin\beta)라 하자. y=sin⁡x\displaystyle y=\sin x는 구간 [0,π]\displaystyle [0,\pi]에서 위로 볼록하기 때문에 선분 PQ\displaystyle PQ는 y=sin⁡x\displaystyle y=\sin x의 그래프 아래에 놓이게 된다. 따라서 그림으로부터 A≤B\displaystyle A\le B이다. 즉 다음이 성립한다.A=msin⁡α+nsin⁡βm+n≤B=sin⁡γ=sin⁡(mα+nβm+n)\displaystyle A=\frac{m\sin\alpha+n\sin\beta}{m+n}\le B=\sin\gamma=\sin\left(\frac{m\alpha+n\beta}{m+n}\right)

사인곡선 위의 두 점 P와 Q를 잇는 현과 내분점에서의 함수값 비교
+2점 · (2) n=2\displaystyle n=2일 때 [문제 2](1)에 의해 성립한다는 서술이 있으면

(2) 수학적 귀납법으로 증명하자.n=2\displaystyle n=2일 때, α1+α22\displaystyle \frac{\alpha_1+\alpha_2}2는 구간 [α1,α2]\displaystyle [\alpha_1,\alpha_2]를 1:1\displaystyle 1:1로 내분하는 점이므로 (1)의 결과에 의해 부등식이 성립한다.

+3점 · n=k\displaystyle n=k일 때 성립함을 가정한다고 언급하고, n=k+1\displaystyle n=k+1일 때에 대하여 sin⁡α1+⋯+sin⁡αk+sin⁡αk+1≤ksin⁡(α1+⋯+αkk)+sin⁡αk+1\displaystyle \sin\alpha_1+\cdots+\sin\alpha_k+\sin\alpha_{k+1}\le k\sin\left(\frac{\alpha_1+\cdots+\alpha_k}k\right)+\sin\alpha_{k+1}까지 서술하면

n=k\displaystyle n=k일 때 부등식이 성립한다고 가정하자. 즉,sin⁡α1+sin⁡α2+⋯+sin⁡αk≤ksin⁡(α1+α2+⋯+αkk)\displaystyle \sin\alpha_1+\sin\alpha_2+\cdots+\sin\alpha_k\le k\sin\left(\frac{\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_k}k\right).그러면sin⁡α1+sin⁡α2+⋯+sin⁡αk+sin⁡αk+1≤ksin⁡(α1+α2+⋯+αkk)+sin⁡αk+1\displaystyle \begin{aligned} &\sin\alpha_1+\sin\alpha_2+\cdots+\sin\alpha_k+\sin\alpha_{k+1}\\ &\quad\le k\sin\left(\frac{\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_k}k\right)+\sin\alpha_{k+1} \end{aligned}

+7점 · 나머지 부분 완성하면

=(k+1)(kk+1sin⁡(α1+α2+⋯+αkk)+1k+1sin⁡αk+1)≤(k+1)sin⁡(α1+α2+⋯+αk+αk+1k+1)(∵(1)의 부등식)\displaystyle \begin{aligned} &\quad=(k+1)\left(\frac k{k+1}\sin\left(\frac{\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_k}k\right)+\frac1{k+1}\sin\alpha_{k+1}\right)\\ &\quad\le(k+1)\sin\left(\frac{\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_k+\alpha_{k+1}}{k+1}\right)\quad(\because\text{(1)의 부등식}) \end{aligned}즉 n=k+1\displaystyle n=k+1일 때도 성립하므로 모든 자연수 n\displaystyle n에 대해 주어진 부등식이 성립한다. 단, 부등식의 등호는 α1=α2=⋯=αn\displaystyle \alpha_1=\alpha_2=\cdots=\alpha_n일 때 성립한다.

+4점 · (3) 분할된 삼각형의 넓이를 12r2sin⁡αi\displaystyle \frac12r^2\sin\alpha_i 또는 12sin⁡αi\displaystyle \frac12\sin\alpha_i꼴로 나타내면

(3) 그림과 같이 반지름이 r\displaystyle r인 원에 내접하는 n\displaystyle n각형은 원의 중심 O\displaystyle O에서 만나는 n\displaystyle n개의 삼각형들로 분할할 수 있다. 각 삼각형의 넓이는 12r2sin⁡αi\displaystyle \frac12r^2\sin\alpha_i (i=1,2,⋯ ,n\displaystyle i=1,2,\cdots,n)이다. 따라서 n\displaystyle n각형의 넓이는 ∑i=1n12r2sin⁡αi\displaystyle \sum_{i=1}^n\frac12r^2\sin\alpha_i이고,

+8점 · [문제 2](2)의 결과를 이용하여 올바른 부등식을 얻으면

Caution. 한 가지 모양으로 도형을 그려 풀 때는, 풀이에 사용한 점의 위치나 각의 크기 관계가 문제의 조건에서 반드시 성립하는지 확인해야 한다: 원에 내접한 다각형에서도 원의 중심 O\displaystyle O가 변 위나 바깥에 있을 수 있다. 예를 들어 둔각삼각형에서는 외심이 바깥에 있으므로, 외심과 세 꼭짓점을 이어 만든 삼각형들의 넓이를 그대로 더할 수 없다. 직각삼각형에서는 빗변에 대응하는 중심각이 π\displaystyle \pi여서 (2)의 조건 0<αi<π\displaystyle 0<\alpha_i<\pi를 벗어난다.이 두 배치가 최대가 될 수 없다는 것은 다음과 같이 확인할 수 있다. O\displaystyle O가 변 위나 바깥에 있으면 이웃한 두 꼭짓점 사이의 호 중 하나는 반원 이상이다. 그 호의 양 끝을 A,B\displaystyle A,B, 다음 꼭짓점을 C\displaystyle C라 하자. B\displaystyle B를 호 ABC\displaystyle ABC의 중점으로 옮기면 밑변 AC\displaystyle AC에 대한 높이가 커진다. 삼각형 ABC\displaystyle ABC 이외의 부분은 그대로이므로 다각형의 넓이도 커진다. 따라서 넓이가 최대인 배치에서는 O\displaystyle O가 내부에 있고, 대학 풀이와 같이 (2)를 적용할 수 있다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(2)의 결과에 의해∑i=1n12r2sin⁡αi≤12r2nsin⁡(α1+α2+⋯+αnn)=n×12r2sin⁡2πn\displaystyle \sum_{i=1}^n\frac12r^2\sin\alpha_i\le\frac12r^2n\sin\left(\frac{\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n}n\right)=n\times\frac12r^2\sin\frac{2\pi}n이다. 우변은 정n\displaystyle n각형의 넓이이고 이것이 최댓값이다.

원에 내접한 n각형을 중심 O에서 삼각형들로 분할한 그림

(1) 2계 미분을 이용하여 y=sin⁡x\displaystyle y=\sin x가 [0,π]\displaystyle [0,\pi]에서 위로 볼록임을 증명하는 것은 별도의 점수 없음. 문제풀이에 필요한 올바른 그림을 그리면 2점, 부등식 증명의 완성 4점. 그림을 그리지 않더라도 y=sin⁡x\displaystyle y=\sin x의 그래프가 [0,π]\displaystyle [0,\pi]에서 위로 볼록임을 언급하고 증명하면 6점.

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