수학과학우수자 1번

[문제 1](1) $\displaystyle dt=(3s^2+1)ds$, $\displaystyle t=1$일 때 $\displaystyle s=0$, $\displaystyle t=3$일 때 $\displaystyle s=1$이므로$\displaystyle \int_1^3(t-s)\,dt=\int_0^1(s^3+1)(3s^2+1)\,ds=\frac{11}4$.

(2) 직선 $\displaystyle y=x$를 $\displaystyle t$축으로 설정하고, 원점에서 $\displaystyle t$축으로 거리가 $\displaystyle t$인 점 $\displaystyle P(\frac t{\sqrt2},\frac t{\sqrt2})$를 지나 $\displaystyle t$축에 수직으로 자른 절단면의 넓이를 $\displaystyle S(t)$라 두면 부피 $\displaystyle V$는 $\displaystyle V=\int_0^{\sqrt2}S(t)\,dt$이다. 여기서 $\displaystyle S(t)$는 중심이 $\displaystyle P$인 원의 넓이이고 이 원의 반지름 $\displaystyle r$이라 하자.(풀이1) $\displaystyle P$를 지나고 기울기가 $\displaystyle -1$인 직선이 포물선 $\displaystyle y=x^2$과 만나는 점의 좌표를 $\displaystyle (s,s^2)$이라 두면 $\displaystyle \frac{\frac t{\sqrt2}-s^2}{\frac t{\sqrt2}-s}=-1$로부터 $\displaystyle s^2+s=\sqrt2t$를 얻고$\displaystyle r^2=\left(\frac t{\sqrt2}-s^2\right)^2+\left(\frac t{\sqrt2}-s\right)^2=t^2-\sqrt2(s^2+s)t+s^4+s^2$을 얻는다. 따라서$\displaystyle V=\int_0^{\sqrt2}S(t)\,dt=\int_0^{\sqrt2}\pi r^2\,dt=\pi\int_0^{\sqrt2}\{t^2-\sqrt2(s^2+s)t+s^4+s^2\}\,dt$이다.

여기서 $\displaystyle t=\frac1{\sqrt2}(s^2+s)$로 치환하면 $\displaystyle s\ge0$이므로 $\displaystyle t=0$일 때 $\displaystyle s=0$이고 $\displaystyle t=\sqrt2$일 때, $\displaystyle s=1$이다. 또한 $\displaystyle dt=\frac1{\sqrt2}(2s+1)ds$이다. 이들을 위의 식에 대입하여 정리하면 다음을 얻는다.$\displaystyle \begin{aligned} V&=\pi\int_0^1\left\{\left(\frac1{\sqrt2}(s^2+s)\right)^2-\sqrt2(s^2+s)\left(\frac1{\sqrt2}(s^2+s)\right)+s^4+s^2\right\}\left\{\frac1{\sqrt2}(2s+1)ds\right\}\\ &=\frac\pi{2\sqrt2}\int_0^1(2s^5-3s^4+s^2)\,ds=\frac{\sqrt2\pi}{60} \end{aligned}$.