자연계열 1번

(1-1)(i) $\displaystyle y=x^3e^{-x^2}$는 기함수이므로 $\displaystyle x>0$에서만 그림을 그린 후 원점 대칭시킨다.(ii) $\displaystyle \lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^3}{e^{x^2}}=0$이므로 $\displaystyle y=0$($\displaystyle x$축)은 수평점근선이다.(iii) $\displaystyle y^{\prime}=x^2(3-2x^2)e^{-x^2}$으로부터$\displaystyle \begin{cases}0<x<\sqrt{\frac32}\Rightarrow y^{\prime}>0\Rightarrow y\text{는 증가함수}\\x>\sqrt{\frac32}\Rightarrow y^{\prime}<0\Rightarrow y\text{는 감소함수}\end{cases}$이고 $\displaystyle f(\sqrt{\frac32})=\frac32\sqrt{\frac32}e^{-\frac32}$은 극댓값이고 $\displaystyle f(-\sqrt{\frac32})=-\frac32\sqrt{\frac32}e^{-\frac32}$은 극솟값이다.(iv) $\displaystyle y^{\prime\prime}=2x(x^2-3)(2x^2-1)e^{-x^2}$으로부터$\displaystyle \begin{cases}0<x<\frac1{\sqrt2}\Rightarrow y^{\prime\prime}>0\Rightarrow y\text{는 아래로 볼록}\\\frac1{\sqrt2}<x<\sqrt3\Rightarrow y^{\prime\prime}<0\Rightarrow y\text{는 위로 볼록}\\x>\sqrt3\Rightarrow y^{\prime\prime}>0\Rightarrow y\text{는 아래로 볼록}\end{cases}$이고 $\displaystyle (0,0)$, $\displaystyle (\pm\frac1{\sqrt2},\pm\frac{\sqrt2}4e^{-\frac12})$, $\displaystyle (\pm\sqrt3,\pm3\sqrt3e^{-3})$은 변곡점이다.이상을 종합하여 $\displaystyle y=x^3e^{-x^2}$의 그래프의 개형을 그리면 다음과 같다.

(1-2)$\displaystyle x^2=\theta$로 치환하면 $\displaystyle x\,dx=\frac12d\theta$이고,$\displaystyle \begin{aligned} \int x^3e^{-x^2}\,dx&=\frac12\int\theta e^{-\theta}\,d\theta\quad(\text{부분적분법 사용})\\ &=\frac12\{-\theta e^{-\theta}+\int e^{-\theta}\,d\theta\}=\frac12\{-\theta e^{-\theta}-e^{-\theta}\}\\ &=\frac12\{-x^2e^{-x^2}-e^{-x^2}\}+C \end{aligned}$이다. 따라서 구하는 극한값은 제시문에 주어진 극한의 결과를 이용하면$\displaystyle \lim_{t\to\infty}\int_0^t x^3e^{-x^2}\,dx=\lim_{t\to\infty}\frac12\Biggl[-x^2e^{-x^2}-e^{-x^2}\Biggr]_0^t=\frac12\lim_{t\to\infty}(-\frac{t^2}{e^{t^2}}-\frac1{e^{t^2}}+1)=\frac12$.