자연계열 4번

(4-1)$\displaystyle \int\ln x\,dx=\int\left(\frac d{dx}x\right)\ln x=x\ln x-\int1\,dx=x\ln x-x+C$

(4-2)$\displaystyle \ln2^{1200}=1200\ln2<840\quad(\because\text{제시문(가)})$$\displaystyle \ln200!=\sum_{k=1}^{200}\ln k>\int_1^{200}\ln x\,dx=\Biggl[x\ln x-x\Biggr]_1^{200}=(200\ln200-200)+1$한편 $\displaystyle 200=25\times8=5^2\times2^3$이므로 $\displaystyle \ln200=2\ln5+3\ln2>3.2+2.07>5.2$($\displaystyle \because$제시문(가))이다. 그러므로 $\displaystyle \ln200!>1040-199=841$이다.$\displaystyle \therefore\ln2^{1200}<\ln200!\qquad\therefore2^{1200}<200!$

(4-3)$\displaystyle t\le0$일 때는 $\displaystyle n^{tn}<n!$이고, $\displaystyle t\ge1$일 때 $\displaystyle n^{tn}\ge n!$이 성립함은 자명하다. $\displaystyle 0<t<1$일 때, $\displaystyle n$이 커짐에 따라 $\displaystyle n^{tn}$이 결국 $\displaystyle n!$보다 작게 됨을 보이자. (그러면 구하는 최솟값은 $\displaystyle 1$이 된다.)Comment. $\displaystyle n=1$이면 $\displaystyle 1^{t}=1!$이므로 등호가 성립한다. 여기서 엄격한 부등식은 $\displaystyle n\ge2$에서 성립하며, 모든 양의 정수에 대한 조건을 만족하는 $\displaystyle t$의 최솟값은 그대로 $\displaystyle 1$이다. 원문은 수록 원칙에 따라 그대로 실었다.$\displaystyle \ln n^{tn}=tn\ln n$ --- ①$\displaystyle \ln n!=\sum_{k=1}^n\ln k>\int_1^n\ln x\,dx=\Biggl[x\ln x-x\Biggr]_1^n=n(\ln n-1)+1$ --- ②$\displaystyle n$이 커짐에 따라 ②−①이 $\displaystyle 0$보다 커짐을 보이면 된다.②−①$\displaystyle =n(\ln n-1)+1-tn\ln n=n(\ln n-t\ln n-1)+1$그런데, $\displaystyle \ln n-t\ln n-1=(1-t)\ln n-1$이고 $\displaystyle 1-t>0$이고 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\ln n=\infty$이므로 $\displaystyle n$이 커짐에 따라$\displaystyle \ln n-t\ln n-1>0$(또는 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}(\ln n-t\ln n-1)=\infty$)이므로 $\displaystyle n$이 커짐에 따라 $\displaystyle n!$은 $\displaystyle n^{tn}$보다 크다.