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자연계열 2번

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인하대 2014학년도 수시 2차 자연계열 2번 · 해설강의 있음 · mathesis.kr/archive/inha/2014su_2/jayeon_2

배점25점
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문제

【문제 2】(25점), 답안지의 [수학 2] 답란에 답안을 작성하시오.

(※) 양의 정수 n\displaystyle n에 대하여 집합 An\displaystyle A_{n}을An={ (x1,x2,⋯ ,xn)∣xi∈{1,2,3,4}, x1+x2+⋯+xn은 5의 배수 }\displaystyle A_{n}=\{\,(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})\mid x_{i}\in\{1,2,3,4\},\ x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}\text{은 5의 배수}\,\}라 하고, An\displaystyle A_{n}의 원소의 개수를 an\displaystyle a_{n}이라 하자. 예를 들면,A1=∅\displaystyle A_{1}=\varnothing(공집합), A2={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)}\displaystyle A_{2}=\{(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)\}이므로 a1=0\displaystyle a_{1}=0, a2=4\displaystyle a_{2}=4이다. 또한, (1,1,3)∈A3\displaystyle (1,1,3)\in A_{3}이다.

(2-1) a3\displaystyle a_{3}의 값을 구하시오. (5점)

(2-2) n≥2\displaystyle n\ge2일 때, an\displaystyle a_{n}과 an−1\displaystyle a_{n-1}의 관계식을 구하시오. (10점)

(2-3) an\displaystyle a_{n}을 n\displaystyle n의 식으로 나타내시오. (10점)

심화 경우의 수의 귀납적 계산

인하대 2014학년도 수시 2차 자연계열 2번 · 해설강의 있음 · mathesis.kr/archive/inha/2014su_2/jayeon_2

+5점 · 상황 파악 능력 — (2-1)은 주어진 상황을 이해하는가를 알아보는 단순한 문제이다.

A3={(1,1,3),(1,2,2),(1,3,1),(2,1,2),(2,2,1),(2,4,4),\displaystyle A_{3}=\{(1,1,3),(1,2,2),(1,3,1),(2,1,2),(2,2,1),(2,4,4),  (3,1,1),(3,3,4),(3,4,3),(4,2,4),(4,3,3),(4,4,2)}\displaystyle \qquad\ \ (3,1,1),(3,3,4),(3,4,3),(4,2,4),(4,3,3),(4,4,2)\}이므로 a3=12\displaystyle a_{3}=12이다.

+10점 · 점화식을 만드는 능력 — (2-2)는 (2-1)을 해결하는 경험을 통하여 이를 일반화하여 점화식을 구할 수 있는가를 알아보는 문제이다.

Bn={ (x1,x2,⋯ ,xn)∣xi∈{1,2,3,4}, x1+x2+⋯+xn은 5의 배수가 아니다. }\displaystyle B_{n}=\{\,(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})\mid x_{i}\in\{1,2,3,4\},\ x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}\text{은 5의 배수가 아니다.}\,\}이라 놓고, bn\displaystyle b_{n}을 집합 Bn\displaystyle B_{n}의 원소의 개수라 하면, an+bn=4n\displaystyle a_{n}+b_{n}=4^{n}, an=bn−1\displaystyle a_{n}=b_{n-1}이다. 따라서 an+an−1=4n−1\displaystyle a_{n}+a_{n-1}=4^{n-1}이다.

+10점 · 점화식을 푸는 능력 — (2-3)은 위의 점화식을 푸는 문제로서, 특히 등비수열의 합을 계산할 수 있는지 알아본다.

(2-2)의 점화식으로부터an=4n−1−an−1\displaystyle a_{n}=4^{n-1}-a_{n-1}=4n−1−4n−2+an−2= ⋯\displaystyle =4^{n-1}-4^{n-2}+a_{n-2}=\ \cdots=4n−1−4n−2+4n−3− ⋯ +(−1)n−2a2\displaystyle =4^{n-1}-4^{n-2}+4^{n-3}-\ \cdots\ +(-1)^{n-2}a_{2}=4n−1−4n−2+4n−3− ⋯ +(−1)n−24\displaystyle =4^{n-1}-4^{n-2}+4^{n-3}-\ \cdots\ +(-1)^{n-2}4=4n−1(1−(−14)n−1)1−(−14)=45(4n−1−(−1)n−1)\displaystyle =\frac{4^{n-1}\left(1-\left(-\frac{1}{4}\right)^{n-1}\right)}{1-\left(-\frac{1}{4}\right)}=\frac{4}{5}\left(4^{n-1}-(-1)^{n-1}\right)

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