자연계열 3번

(3-1)$\displaystyle A=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$ ($\displaystyle 0<\theta<\pi$), $\displaystyle E=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$이므로 $\displaystyle E+A=\begin{pmatrix}1+\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&1+\cos\theta\end{pmatrix}$이다.제시문 (다)에 의해 $\displaystyle A,E\in T$이므로 $\displaystyle E+A\in T$이다. 따라서 $\displaystyle E+A=kP$로 표현할 수 있고,$\displaystyle \begin{pmatrix}1+\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&1+\cos\theta\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}k\cos\alpha&-k\sin\alpha\\k\sin\alpha&k\cos\alpha\end{pmatrix}$,여기서 $\displaystyle P=\begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\\sin\alpha&\cos\alpha\end{pmatrix}$, $\displaystyle 0<\alpha<\pi$이다. 따라서 연립방정식 $\displaystyle \begin{cases}1+\cos\theta=k\cos\alpha\\\sin\theta=k\sin\alpha\end{cases}$을 얻는다. 두 식을 제곱하여 변변 더하면$\displaystyle k^2=(1+\cos\theta)^2+\sin^2\theta=2+2\cos\theta$$\displaystyle \therefore k=\sqrt{2+2\cos\theta}=\sqrt{4(\frac{1+\cos\theta}2)}=\sqrt{4\cos^2\frac\theta2}=2\cos\frac\theta2\quad(\because k>0)$

(3-2)제시문 (다)에 의해 $\displaystyle E,cA\in T$이므로 $\displaystyle E+cA\in T$이다 따라서 (3-1)과 마찬가지로$\displaystyle \begin{pmatrix}1+c\cos\theta&-c\sin\theta\\c\sin\theta&1+c\cos\alpha\end{pmatrix}^6=(E+cA)^6=\begin{pmatrix}k\cos\alpha&-k\sin\alpha\\k\sin\alpha&k\cos\alpha\end{pmatrix}^6$,Correction. 왼쪽 행렬의 오른쪽 아래 성분은 $\displaystyle 1+c\cos\alpha$가 아니라 $\displaystyle 1+c\cos\theta$이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.여기서 $\displaystyle k$는 양의 실수, $\displaystyle 0<\alpha<\pi$로 나타낼 수 있다. $\displaystyle \begin{pmatrix}k\cos\alpha&-k\sin\alpha\\k\sin\alpha&k\cos\alpha\end{pmatrix}^6=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$에서 $\displaystyle k^6=1$이므로 $\displaystyle k=1$이고, $\displaystyle 6\alpha=2\pi,4\pi$이므로 $\displaystyle \alpha=\frac\pi3,\frac{2\pi}3$이다. 또한 연립방정식$\displaystyle \begin{cases}1+c\cos\theta=k\cos\alpha\\c\sin\theta=k\sin\alpha\end{cases}$ --- ①으로부터 두 식을 제곱하여 변변 더하면$\displaystyle 1=(1+c\cos\theta)^2+c^2\sin^2\theta\Leftrightarrow\cos\theta=-\frac c2$ --- ②.①의 첫 번째 식 $\displaystyle 1+c\cos\theta=\cos\alpha$에 ②식을 대입하면 $\displaystyle c^2=2-2\cos\alpha$이다. 따라서$\displaystyle \alpha=\frac\pi3$일 때, $\displaystyle c^2=1\Rightarrow c=1,\cos\theta=-\frac12$$\displaystyle \alpha=\frac{2\pi}3$일 때, $\displaystyle c^2=3\Rightarrow c=\sqrt3,\cos\theta=-\frac{\sqrt3}2$