인하대 2016학년도 모의 1차 자연계열 1번 해설

수열을 정의할 때, 수열의 일반항을 구체적인 식으로 나타내기도 하지만 이웃하는 항들 사이의 관계식을 써서 수열을 정의하기도 한다. 일반적으로 수열 $\displaystyle \{a_n\}$ 에서(1) 첫째항 $\displaystyle a_1$ 의 값(2) 두 항 $\displaystyle a_n,a_{n+1}\ (n=1,2,3,\cdots)$ 사이의 관계식이 주어질 때, 이 관계식의 $\displaystyle n$ 에 $\displaystyle 1,2,3,\cdots$ 을 차례로 대입하면 수열의 모든 항 $\displaystyle a_1,a_2,a_3,\cdots$ 이 정해진다. 이와 같이 첫째항 $\displaystyle a_1$ 의 값과 이웃하는 항 사이의 관계식으로 수열을 정의하는 것을 수열의 귀납적 정의라 하고, 그 관계식을 수열의 점화식이라고 한다.

(※) 수열 $\displaystyle \{a_n\}$ 은 초항이 $\displaystyle a_1=k\ (k$ 는 실수 $\displaystyle )$ 이고 점화식 $\displaystyle a_n=\begin{cases}a_{n-1}&(a_{n-1}\ge n\text{인 경우})\\2n-a_{n-1}&(a_{n-1}<n\text{인 경우})\end{cases}$ 을 만족한다.

(1-1) $\displaystyle a_5=5$ 가 되도록 하는 $\displaystyle k$ 의 값을 모두 구하시오. (10점)

(1-2) $\displaystyle a_1+a_2+a_3\le10$ 이 되도록 하는 $\displaystyle k$ 의 범위를 구하시오. (15점)

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10 · (1-1)

(1-1) 주어진 점화식으로부터 역으로 추적해 보면 다음을 얻는다. $\displaystyle \begin{aligned}5=a_5&=\begin{cases}a_4&(a_4\ge5)\\10-a_4&(a_4<5)\end{cases}\Rightarrow a_4=5\\5=a_4&=\begin{cases}a_3&(a_3\ge4)\\8-a_3&(a_3<4)\end{cases}\Rightarrow a_3=5,3\\5,3=a_3&=\begin{cases}a_2&(a_2\ge3)\\6-a_2&(a_2<3)\end{cases}\Rightarrow a_2=5,1,3\\5,1,3=a_2&=\begin{cases}k&(k\ge3)\\4-k&(k<3)\end{cases}\Rightarrow k=5,-1,3,1\end{aligned}$ Comment. 중간 후보 $\displaystyle a_2=1$ 은 실제로 불가능하며, 가능한 후보만 확인해도 최종 답 $\displaystyle k=-1,1,3,5$ 는 그대로이다. 원문은 수록 원칙에 따라 그대로 실었다.Correction. 두 번째 항을 구할 때의 기준은 3이 아니라 2이다. 즉 $\displaystyle k\ge2$ 이면 $\displaystyle a_2=k$ , $\displaystyle k<2$ 이면 $\displaystyle a_2=4-k$ 이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.따라서 구하는 $\displaystyle k$ 의 값은 $\displaystyle k=-1,1,3,5$ 이다.

15 · (1-2)

(1-2) 주어진 점화식으로부터 $\displaystyle a_1=k,\ a_2=\begin{cases}k&(k\ge2)\\4-k&(k<2)\end{cases},\ a_3=\begin{cases}a_2&(a_2\ge3)\\6-a_2&(a_2<3)\end{cases}=\begin{cases}k&(k\ge3)\\6-k&(2\le k<3)\\2+k&(1\le k<2)\\4-k&(k<1)\end{cases}$ 을 얻고 이를 그림으로 표시하면 다음과 같다.

위 세 그림을 더하면 다음과 같은 그림을 얻는다.

따라서 구하는 $\displaystyle k$ 의 범위는 $\displaystyle -2\le k\le\frac{10}3$ 이다.

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자연계열 1번

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