자연계열 3번

(3-1) 함수 $\displaystyle g(x)=x^3-6x$은 $\displaystyle g^{\prime}(x)=3x^2-6=3(x+\sqrt2)(x-\sqrt2)=0$으로부터 극댓값 $\displaystyle g(-\sqrt2)=4\sqrt2$와 극솟값 $\displaystyle g(\sqrt2)=-4\sqrt2$을 갖는다. 따라서 곡선 $\displaystyle g(x)=x^3-6x$와 직선 $\displaystyle y=k$가 서로 다른 세 점에서 만나는 것은 $\displaystyle k$의 값이 극댓값과 극솟값 사이에 있을 때이다. 즉, $\displaystyle -4\sqrt2<k<4\sqrt2$이다.

(3-2) $\displaystyle x^3-6x=-5$를 만족하는 $\displaystyle x$의 값을 먼저 구해보자. $\displaystyle x=1$이 등식을 만족하므로, $\displaystyle x^3-6x+5=(x-1)(x^2+x-5)$으로 인수분해 할 수 있고, 등식을 만족하는 것 중에 $\displaystyle x>0$인 것은 $\displaystyle x=1,\ \frac{-1+\sqrt{21}}2$이다. $\displaystyle 0<x<\sqrt2$일 때의 $\displaystyle g(x)=x^3-6x$의 역함수를 $\displaystyle h_1$, $\displaystyle \sqrt2<x<\sqrt6$일 때의 역함수를 $\displaystyle h_2$라고 하면, $\displaystyle f(k)=h_2(k)-h_1(k)$이므로, 역함수의 미분법으로부터 다음을 얻는다.$\displaystyle \begin{aligned}f^{\prime}(-5)&=\frac1{g^{\prime}\left(\frac{-1+\sqrt{21}}2\right)}-\frac1{g^{\prime}(1)}\\&=\frac1{3\left(\frac{-1+\sqrt{21}}2\right)^2-6}-\frac1{3(1)^2-6}\\&=\frac{21+\sqrt{21}}{42}\end{aligned}$