자연계열 4번

(4-1) (풀이1) 직선 $\displaystyle l:y=k(x-10)+5$은 한 정점 $\displaystyle (10,5)$를 지나고 기울기가 $\displaystyle k$인 직선이다. 먼저 직선 $\displaystyle l$이 타원 $\displaystyle C$에 접할 때의 접선의 방정식은 $\displaystyle y=kx\pm\sqrt{4k^2+1}$이고, 이 접선이 점 $\displaystyle (10,5)$을 지나므로$\displaystyle 5=10k\pm\sqrt{4k^2+1}$을 얻는다. 양변을 제곱하여 $\displaystyle k$에 대하여 내림차순으로 정리하면$\displaystyle 24k^2-25k+6=(3k-2)(8k-3)=0$이다. 즉, 정점 $\displaystyle (10,5)$를 지나고 타원 $\displaystyle C$에 접하는 두 접선의 기울기는 $\displaystyle k=\frac23,\ \frac38$이다. 따라서 타원 $\displaystyle C$와 직선 $\displaystyle l$이 서로 다른 두 점에서 만나기 위한 상수 $\displaystyle k$의 범위는$\displaystyle \frac38<k<\frac23$이다.

(풀이2) 직선 $\displaystyle l:y=k(x-10)+5$은 한 정점 $\displaystyle (10,5)$를 지나고 기울기가 $\displaystyle k$인 직선이다. 직선 $\displaystyle l$과 타원 $\displaystyle C:\frac{x^2}4+y^2=1$의 공유점의 $\displaystyle x$좌표는 이차방정식$\displaystyle \frac{x^2}4+(k(x-10)+5)^2=1$혹은$\displaystyle (1+4k^2)x^2+40k(1-2k)x+400k^2-400k+96=0$을 만족한다. 타원 $\displaystyle C$와 직선 $\displaystyle l$이 접하기 위한 $\displaystyle k$의 값은 다음과 같다.$\displaystyle \begin{aligned}D/4&=(20k(1-2k))^2-(1+4k^2)(400k^2-400k+96)=0\\\Leftrightarrow\quad24k^2-25k+6&=(3k-2)(8k-3)=0\quad\Leftrightarrow\quad k=\frac38,\frac23\end{aligned}$따라서 타원 $\displaystyle C$와 직선 $\displaystyle l$이 서로 다른 두 점에서 만나기 위한 상수 $\displaystyle k$의 범위는$\displaystyle \frac38<k<\frac23$이다.

(4-2) (풀이1) 타원 $\displaystyle C$와 직선 $\displaystyle l$이 서로 다른 두 점 $\displaystyle P$와 $\displaystyle Q$에서 만나므로 그 좌표를 각각 $\displaystyle P(x_1,y_1),\ Q(x_2,y_2)$라고 하자. 직선 $\displaystyle l$의 기울기는$\displaystyle k=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\quad\text{혹은}\quad y_1-y_2=k(x_1-x_2)\quad\cdots(1)$이고 $\displaystyle P$와 $\displaystyle Q$에서 타원 $\displaystyle C$에 접하는 접선은 각각 다음으로 주어진다.$\displaystyle \frac{x_1}4x+y_1y=1\quad\cdots(2),\qquad\frac{x_2}4x+y_2y=1\quad\cdots(3)$두 접선 (2)와 (3)을 연립하여 교점의 $\displaystyle y$-좌표인 $\displaystyle b$와 $\displaystyle x$-좌표인 $\displaystyle a$를 각각 구하면$\displaystyle b=\frac{x_1-x_2}{x_1y_2-x_2y_1}\quad\cdots(4),\qquad a=\frac{4(y_2-y_1)}{x_1y_2-x_2y_1}\quad\cdots(5)$를 얻는다. 한편, $\displaystyle y_1=kx_1-10k+5,\ y_2=kx_2-10k+5$를 (4)와 (5)에 대입하여 정리하면$\displaystyle \begin{aligned}b&=\frac{x_1-x_2}{x_1y_2-x_2y_1}=\frac{x_1-x_2}{x_1(kx_2-10k+5)-x_2(kx_1-10k+5)}=\frac1{-10k+5}\quad\cdots(6)\\a&=\frac{4(y_2-y_1)}{x_1y_2-x_2y_1}=\frac{4k(x_2-x_1)}{x_1(kx_2-10k+5)-x_2(kx_1-10k+5)}=\frac{4k}{10k-5}\quad\cdots(7)\end{aligned}$을 얻는다. (6)과 (7)에서 $\displaystyle k$를 소거하면 $\displaystyle a$와 $\displaystyle b$의 관계식$\displaystyle 5a+10b=2\quad\text{혹은}\quad b=-\frac12a+\frac15$을 얻는다. 다음으로 $\displaystyle b$의 범위를 구하자. 먼저 문제 (4-1)에서 얻은 $\displaystyle k$의 범위 $\displaystyle \frac38<k<\frac23$로부터 부등식 $\displaystyle -\frac53<\frac1b=5-10k<\frac54$을 얻고, 이 연립부등식의 해를 구하면$\displaystyle b<-\frac35,\ b>\frac45$를 얻는다.