수리논술, 배움에서 논증의 완성까지.

자연계열 2번

인하대 2016학년도 모의 1차 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/inha/2016mo1/jayeon_2

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배점25점
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문제

양의 정수 n\displaystyle n과 1≤k≤n−1\displaystyle 1\le k\le n-1인 정수 k\displaystyle k에 대하여, 조합의 수 nCk\displaystyle {}_n\mathrm C_k의 정의에서 등식nCk=n−1Ck+n−1Ck−1\displaystyle {}_n\mathrm C_k={}_{n-1}\mathrm C_k+{}_{n-1}\mathrm C_{k-1}가 성립한다. 위 등식을 파스칼의 공식이라고 한다. 파스칼의 공식이 성립하는 이유는 다음과 같다. 주어진 n\displaystyle n개의 대상 중에서 어느 한 대상 S\displaystyle S에 표시를 하자. 이때, S\displaystyle S를 포함하여 k\displaystyle k개를 택하는 방법의 수는 S\displaystyle S를 제외한 n−1\displaystyle n-1개에서 S\displaystyle S를 제외한 나머지 k−1\displaystyle k-1개를 택하는 방법의 수와 같으므로 n−1Ck−1\displaystyle {}_{n-1}\mathrm C_{k-1}가지이다. 또, S\displaystyle S를 포함하지 않는 k\displaystyle k개를 택하는 방법의 수는 n−1\displaystyle n-1개에서 k\displaystyle k개를 택하는 방법의 수이므로 n−1Ck\displaystyle {}_{n-1}\mathrm C_k가지이다. 따라서 합의 법칙에 의하여 n−1Ck−1\displaystyle {}_{n-1}\mathrm C_{k-1}과 n−1Ck\displaystyle {}_{n-1}\mathrm C_k를 합한 n\displaystyle n개의 대상에서 k\displaystyle k개를 택하는 조합의 수 nCk\displaystyle {}_n\mathrm C_k가 된다.

(※) 양의 정수 n\displaystyle n에 대하여, m\displaystyle m은 n2\displaystyle \frac n2의 정수부분의 값이라 할 때, fn\displaystyle f_n은 다음과 같이 정의된다.fn=∑k=0mn−kCk=nC0+n−1C1+n−2C2+⋯+n−mCm\displaystyle f_n=\sum_{k=0}^m{}_{n-k}\mathrm C_k={}_n\mathrm C_0+{}_{n-1}\mathrm C_1+{}_{n-2}\mathrm C_2+\cdots+{}_{n-m}\mathrm C_m

(2-1) f1=1,f2=2\displaystyle f_1=1,f_2=2임을 보이시오. (5점)

(2-2) 모든 n≥3\displaystyle n\ge3에 대해, 관계식 fn=fn−1+fn−2\displaystyle f_n=f_{n-1}+f_{n-2}이 성립함을 보이시오. (10점)

(2-3) 모든 n≥1\displaystyle n\ge1에 대해, f1+f2+⋯+fn=fn+2−2\displaystyle f_1+f_2+\cdots+f_n=f_{n+2}-2임을 보이시오. (10점)

해설강의 준비중

인하대 2016학년도 모의 1차 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/inha/2016mo1/jayeon_2

5 · (2-1)

(2-1) f1=1C0=1\displaystyle f_1={}_1\mathrm C_0=1이고, f2=2C0+1C1=2\displaystyle f_2={}_2\mathrm C_0+{}_1\mathrm C_1=2이다.

10 · (2-2)

(2-2) 모든 짝수 n=2m≥3\displaystyle n=2m\ge3에 대해, 다음과 같이 계산 될 수 있다.fn−1+fn−2=∑k=0m−12m−1−kCk+∑k=0m−12m−2−kCk=∑k=0m−12m−1−kCk+∑k=1m2m−1−kCk−1=2m−1C0+∑k=1m−1(2m−1−kCk+2m−1−kCk−1)+m−1Cm−1\displaystyle \begin{aligned}f_{n-1}+f_{n-2}&=\sum_{k=0}^{m-1}{}_{2m-1-k}\mathrm C_k+\sum_{k=0}^{m-1}{}_{2m-2-k}\mathrm C_k\\&=\sum_{k=0}^{m-1}{}_{2m-1-k}\mathrm C_k+\sum_{k=1}^m{}_{2m-1-k}\mathrm C_{k-1}\\&={}_{2m-1}\mathrm C_0+\sum_{k=1}^{m-1}({}_{2m-1-k}\mathrm C_k+{}_{2m-1-k}\mathrm C_{k-1})+{}_{m-1}\mathrm C_{m-1}\end{aligned}제시문의 성질에 따른 nCk=n−1Ck+n−1Ck−1\displaystyle {}_n\mathrm C_k={}_{n-1}\mathrm C_k+{}_{n-1}\mathrm C_{k-1}과2m−1C0=2mC0=m−1Cm−1=mCm=1\displaystyle {}_{2m-1}\mathrm C_0={}_{2m}\mathrm C_0={}_{m-1}\mathrm C_{m-1}={}_m\mathrm C_m=1에 의해서, 아래와 같이 정리가 된다.fn−1+fn−2=2mC0+(∑k=1m−12m−kCk)+mCm=∑k=0mn−kCk=fn\displaystyle f_{n-1}+f_{n-2}={}_{2m}\mathrm C_0+\left(\sum_{k=1}^{m-1}{}_{2m-k}\mathrm C_k\right)+{}_m\mathrm C_m=\sum_{k=0}^m{}_{n-k}\mathrm C_k=f_n비슷하게, 모든 홀수 n=2m+1≥3\displaystyle n=2m+1\ge3에 대해, 다음과 같이 계산 될 수 있다.fn−1+fn−2=∑k=0m2m−kCk+∑k=0m−12m−1−kCk=∑k=0m2m−kCk+∑k=1m2m−kCk−1=2mC0+∑k=1m(2m−kCk+2m−kCk−1)\displaystyle \begin{aligned}f_{n-1}+f_{n-2}&=\sum_{k=0}^m{}_{2m-k}\mathrm C_k+\sum_{k=0}^{m-1}{}_{2m-1-k}\mathrm C_k\\&=\sum_{k=0}^m{}_{2m-k}\mathrm C_k+\sum_{k=1}^m{}_{2m-k}\mathrm C_{k-1}\\&={}_{2m}\mathrm C_0+\sum_{k=1}^m({}_{2m-k}\mathrm C_k+{}_{2m-k}\mathrm C_{k-1})\end{aligned}제시문의 성질에 따른 nCk=n−1Ck+n−1Ck−1\displaystyle {}_n\mathrm C_k={}_{n-1}\mathrm C_k+{}_{n-1}\mathrm C_{k-1}과 2mC0=2m+1C0=1\displaystyle {}_{2m}\mathrm C_0={}_{2m+1}\mathrm C_0=1에 의해서, 아래와 같이 정리가 된다.fn−1+fn−2=2m+1C0+(∑k=1m2m+1−kCk)=∑k=0mn−kCk=fn\displaystyle f_{n-1}+f_{n-2}={}_{2m+1}\mathrm C_0+\left(\sum_{k=1}^m{}_{2m+1-k}\mathrm C_k\right)=\sum_{k=0}^m{}_{n-k}\mathrm C_k=f_n그러므로 모든 정수 n≥3\displaystyle n\ge3에 대해, fn=fn−1+fn−2\displaystyle f_n=f_{n-1}+f_{n-2}가 성립된다.

10 · (2-3)

(2-3) 양의 정수 n\displaystyle n에 관해 수학적 귀납법을 사용하여 증명을 한다.먼저 n=1\displaystyle n=1일 때,f3−2=(3C0+2C1)−2=1+2−2=1=f1\displaystyle f_3-2=({}_3\mathrm C_0+{}_2\mathrm C_1)-2=1+2-2=1=f_1되어 성립한다.이제 n=k\displaystyle n=k에 대해 식 f1+f2+⋯+fk=fk+2−2\displaystyle f_1+f_2+\cdots+f_k=f_{k+2}-2이 성립한다고 가정하고, n=k+1\displaystyle n=k+1때 식이 성립함을 보이자. 문제 (2-2)의 결과인 fn=fn−1+fn−2\displaystyle f_n=f_{n-1}+f_{n-2}를 이용하여 다음을 보일 수 있다.f1+f2+⋯+fk+fk+1=(fk+2−2)+fk+1=fk+3−2\displaystyle f_1+f_2+\cdots+f_k+f_{k+1}=(f_{k+2}-2)+f_{k+1}=f_{k+3}-2그러므로 모든 양의 정수 n\displaystyle n에 대하여, f1+f2+⋯+fn=fn+2−2\displaystyle f_1+f_2+\cdots+f_n=f_{n+2}-2이 성립한다.

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