자연계열 1번

인하대 2016학년도 모의 2차 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/inha/2016mo2/jayeon_1

(가) 두 $\displaystyle 2\times2$ 행렬 $\displaystyle A$ 와 $\displaystyle B$ 에 대하여 행렬의 곱 $\displaystyle AB$ 와 $\displaystyle BA$ 는 일반적으로 같지 않다.

(나) 행렬 $\displaystyle C$ 가 $\displaystyle 2\times2$ 단위행렬 $\displaystyle E$ 의 상수배가 아니면, $\displaystyle CA=AC$ 가 성립하는 모든 $\displaystyle 2\times2$ 행렬 $\displaystyle A$ 는 적당한 실수 $\displaystyle \alpha,\beta$ 에 대하여 $\displaystyle \alpha C+\beta E$ 의 꼴로 쓸 수 있다.

(※) $\displaystyle 2\times2$ 행렬 $\displaystyle C$ 에 대해서 $\displaystyle C^2+C+E=O$ 가 성립한다고 하자. (단, 여기서 $\displaystyle E$ 는 단위행렬이고 $\displaystyle O$ 는 영행렬이다.)

(1-1) 두 $\displaystyle 2\times2$ 행렬 $\displaystyle A,B$ 가 $\displaystyle AC=CA$ 와 $\displaystyle BC=CB$ 를 만족할 때, 제시문 (나)의 결과를 이용하여 $\displaystyle AB=BA$ 임을 보이시오. (10점)

(1-2) 행렬 $\displaystyle A=C-E$ 의 역행렬을 적당한 실수 $\displaystyle \alpha,\beta$ 에 대하여 $\displaystyle \alpha C+\beta E$ 로 나타내시오. (15점)

해설강의 준비중

인하대 2016학년도 모의 2차 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/inha/2016mo2/jayeon_1

10 · (1-1)

(1-1) 문제의 조건에서 행렬의 원들이 모두 실수이므로 $\displaystyle C$ 는 $\displaystyle E$ 의 상수배가 될 수 없다. $\displaystyle AC=CA$ 이고 $\displaystyle BC=CB$ 이므로 제시문에 의해 적당한 실수 $\displaystyle \alpha,\beta,\gamma,\delta$ 에 대하여 $\displaystyle A=\alpha C+\beta E,\ B=\gamma C+\delta E$ 로 쓸 수 있다. 따라서 $\displaystyle A$ 와 $\displaystyle B$ 의 곱셈은 $\displaystyle AB=(\alpha C+\beta E)(\gamma C+\delta E)=(\gamma C+\delta E)(\alpha C+\beta E)=BA$ 로 교환된다.

15 · (1-2)

(1-2) 문제의 조건에서 행렬의 원들이 모두 실수이므로 $\displaystyle C$ 는 $\displaystyle E$ 의 상수배가 될 수 없다. $\displaystyle C=A+E$ 이므로 $\displaystyle O=C^2+C+E=A^2+3A+3E$ 이다. 따라서 $\displaystyle A^{-1}=-\frac13(A+3E)=-\frac13(C+2E)$ 이다.

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