자연계열 3번

(3-1) $\displaystyle f(x)=e^{nx}-e^x-1$이라 하면 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle \left[0,\frac1n\right]$에서 연속함수이다. 그리고$\displaystyle f(0)=-1<0,\quad f\left(\frac1n\right)=e-e^{\frac1n}-1\ge(e-1)-e^{\frac12}>0$이므로 중간값의 정리에 의해 방정식 $\displaystyle f(x)=0$의 근 $\displaystyle a_n$은 열린구간 $\displaystyle \left(0,\frac1n\right)$에 존재한다.

(3-2) 먼저$\displaystyle S_n=\int_0^{a_n}\{e^x-e^{nx}+1\}\,dx=\Biggl[e^x-\frac1n e^{nx}+x\Biggr]_0^{a_n}=e^{a_n}-1-\frac1n(e^{na_n}-1)+a_n$이므로$\displaystyle \frac{S_n}{a_n}=\frac{e^{a_n}-1}{a_n}-\frac{e^{na_n}-1}{na_n}+1$이다. $\displaystyle a_n$은 문제 (3-1)의 결과에 의해 $\displaystyle 0<a_n<\frac1n$이므로 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=0$이다. 또한$\displaystyle e^{a_n}=e^{na_n}-1$에서 $\displaystyle na_n=\ln(e^{a_n}+1)$이므로$\displaystyle \lim_{n\to\infty}(na_n)=\lim_{n\to\infty}\ln(e^{a_n}+1)=\ln\{\lim_{n\to\infty}(e^{a_n}+1)\}=\ln2$이다. 따라서 다음을 얻는다.$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{n\to\infty}\frac{S_n}{a_n}&=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{e^{a_n}-1}{a_n}-\frac{e^{na_n}-1}{na_n}+1\right)\\&=\lim_{a_n\to0}\left(\frac{e^{a_n}-1}{a_n}\right)-\lim_{n\to\infty}\left(\frac{e^{na_n}-1}{na_n}\right)+1\\&=1-\frac{e^{\ln2}-1}{\ln2}+1=2-\frac{2-1}{\ln2}=2-\frac1{\ln2}\end{aligned}$